QCM : Puissances, racines et valeurs absolues (10 questions)

Question 1

1. Pour simplifier le produit $(7-\sqrt{3})(7+\sqrt{3})$ , quelle identité remarquable permet de le calculer directement ?

a^2-2ab+b^2

a^2-b^2

2a-2b

a^2+2ab+b^2

Explication

Le produit de deux binômes conjugués suit l’identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ . Le carré d’une somme ajoute un terme croisé, tandis que le carré d’une différence en soustrait un.

Answer

$$a^2-b^2$$

Question 2

2. Pour rationaliser le dénominateur de $\frac{2}{5+\sqrt{3}}$ , par quel facteur faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur ?

\sqrt{3}

5+\sqrt{3}

2+\sqrt{3}

5-\sqrt{3}

Explication

Pour rationaliser un dénominateur somme contenant une racine, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué : ici, le conjugué de $5+\sqrt{3}$ est $5-\sqrt{3}$ . Reprendre le même binôme ne crée pas une différence de carrés.

Answer

$$5-\sqrt{3}$$

Question 3

3. Quelle écriture développe correctement $x^5$ selon la définition d’une puissance ?

x\times x\times x\times x\times x\times x

x\times x\times x\times x\times x

5\times 5\times 5\times 5\times 5

5\times x

Explication

La puissance $x^5$ est le produit de cinq facteurs égaux à $x$ . Ajouter un facteur confond l’exposant avec le nombre de facteurs augmenté d’une unité, et $5\times x$ remplace le produit répété par une multiplication simple.

Answer

$$x\times x\times x\times x\times x$$

Question 4

4. Un élève simplifie $\frac{y^9}{y^4}\times y^2$ , avec $y\ne0$ . Quelle puissance obtient-il ?

y^{10}

y^3

y^7

y^{15}

Explication

Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : $y^9/y^4=y^5$ . Puis, dans le produit de puissances de même base, on les additionne : $y^5\times y^2=y^7$ .

Answer

Son opposé, $$-x$$, qui est positif.

Answer

Le nombre $$5$$, situé à égale distance des deux bornes

Answer

À représenter le double produit des deux termes de la somme

Answer

Pour une somme, on réduit les radicandes pour réunir les termes semblables ; pour un produit, on regroupe les facteurs sous une même racine.

Answer

Le produit au dénominateur devient une différence de carrés, donc un nombre sans racine carrée.

Answer

Soustraire les exposants et obtenir $$a^4$$.

Question 5

5. Que représente la valeur absolue d’un nombre réel négatif $x$ ?

Son inverse,

\frac{1}{x}

, qui est négatif.

Le nombre lui-même,

x

, qui est négatif.

Son opposé,

-x

, qui est positif.

Son carré,

x^2

, qui est positif.

Explication

La valeur absolue d’un réel négatif est son opposé, ce qui donne une valeur non négative. Son carré est également positif, mais ce n’est pas la définition de la valeur absolue.

Question 6

6. Quel est le centre de l’intervalle $[2;8]$ ?

Le nombre

3

, égal au rayon de l’intervalle

Le nombre

8

, qui constitue la borne supérieure

Le nombre

2

, qui constitue la borne inférieure

Le nombre

5

, situé à égale distance des deux bornes

Explication

Le centre de l’intervalle est la moyenne de ses bornes, soit $5$ , et le rayon vaut $3$ . Le nombre $3$ décrit donc le rayon, et non le centre.

Question 7

7. À quoi sert le terme $2ab$ dans le développement du carré d’une somme $(a+b)^2$ ?

À représenter le carré du produit des deux termes

À représenter la somme des carrés des deux termes

À représenter le double produit des deux termes de la somme

À représenter la différence des carrés des deux termes

Explication

Le terme $2ab$ provient des deux produits croisés lorsque l’on multiplie $a+b$ par lui-même. La somme des carrés, $a^2+b^2$ , ne contient pas ces produits croisés et ne suffit donc pas à développer le carré d’une somme.

Question 8

8. Quelle différence distingue la simplification d’une somme de racines carrées de celle d’un produit de racines carrées ?

Pour une somme, on réduit les radicandes pour réunir les termes semblables ; pour un produit, on regroupe les facteurs sous une même racine.

Pour une somme, on regroupe les radicandes sous une racine ; pour un produit, on réduit les radicandes pour réunir les termes semblables.

Pour une somme, on multiplie les radicandes entre eux ; pour un produit, on additionne leurs coefficients devant les racines.

Pour une somme, on transforme les radicandes en fractions ; pour un produit, on soustrait les radicandes sous une même racine.

Explication

Dans une somme, la réduction des radicandes permet d’obtenir des racines semblables, tandis que dans un produit, les facteurs peuvent être regroupés sous une même racine. La deuxième réponse inverse les méthodes indiquées pour ces deux opérations.

Question 9

9. Pourquoi multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{3-\sqrt5}$ par le conjugué du dénominateur permet-il de rationaliser celui-ci ?

Le produit au dénominateur devient une différence de carrés, donc un nombre sans racine carrée.

Le conjugué annule la racine du numérateur et laisse inchangé le dénominateur.

Le produit au dénominateur devient une somme de carrés, donc une racine carrée entière.

Le conjugué transforme la différence du dénominateur en une somme contenant une racine carrée.

Explication

Le conjugué de $3-\sqrt5$ est $3+\sqrt5$ , et leur produit vaut $3^2-(\sqrt5)^2=4$ , ce qui élimine la racine du dénominateur. Une somme de carrés ne décrit pas ici le produit des conjugués : c’est la différence de carrés qui s’applique.

Question 10

10. Pour calculer $\frac{a^6}{a^2}$ avec $a\ne0$ , quelle règle des puissances faut-il appliquer ?

Additionner les exposants et obtenir

a^8

.

Soustraire les exposants et obtenir

a^4

.

Multiplier les exposants et obtenir

a^{12}

.

Diviser les exposants et obtenir

a^3

.

Explication

Lorsqu’on divise deux puissances de même base, on soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur : $a^6/a^2=a^{6-2}$ . Additionner les exposants s’applique à une multiplication de puissances de même base, et non à une division.

QCM : Puissances, racines et valeurs absolues (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour simplifier le produit $(7-\sqrt{3})(7+\sqrt{3})$ , quelle identité remarquable permet de le calculer directement ?

2. Pour rationaliser le dénominateur de $\frac{2}{5+\sqrt{3}}$ , par quel facteur faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur ?

3. Quelle écriture développe correctement $x^5$ selon la définition d’une puissance ?

4. Un élève simplifie $\frac{y^9}{y^4}\times y^2$ , avec $y\ne0$ . Quelle puissance obtient-il ?

5. Que représente la valeur absolue d’un nombre réel négatif $x$ ?

6. Quel est le centre de l’intervalle $[2;8]$ ?

7. À quoi sert le terme $2ab$ dans le développement du carré d’une somme $(a+b)^2$ ?

8. Quelle différence distingue la simplification d’une somme de racines carrées de celle d’un produit de racines carrées ?

9. Pourquoi multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{3-\sqrt5}$ par le conjugué du dénominateur permet-il de rationaliser celui-ci ?

10. Pour calculer $\frac{a^6}{a^2}$ avec $a\ne0$ , quelle règle des puissances faut-il appliquer ?

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QCM : Puissances, racines et valeurs absolues (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour simplifier le produit (7−3)(7+3) (7-\sqrt{3})(7+\sqrt{3}) (7−3​)(7+3​), quelle identité remarquable permet de le calculer directement ?

2. Pour rationaliser le dénominateur de 25+3\frac{2}{5+\sqrt{3}}5+3​2​, par quel facteur faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur ?

3. Quelle écriture développe correctement x5x^5x5 selon la définition d’une puissance ?

4. Un élève simplifie y9y4×y2\frac{y^9}{y^4}\times y^2y4y9​×y2, avec y≠0y\ne0y=0. Quelle puissance obtient-il ?

5. Que représente la valeur absolue d’un nombre réel négatif xxx ?

6. Quel est le centre de l’intervalle [2;8][2;8][2;8] ?

7. À quoi sert le terme 2ab2ab2ab dans le développement du carré d’une somme (a+b)2 (a+b)^2 (a+b)2 ?

8. Quelle différence distingue la simplification d’une somme de racines carrées de celle d’un produit de racines carrées ?

9. Pourquoi multiplier le numérateur et le dénominateur de 13−5\frac{1}{3-\sqrt5}3−5​1​ par le conjugué du dénominateur permet-il de rationaliser celui-ci ?

10. Pour calculer a6a2\frac{a^6}{a^2}a2a6​ avec a≠0a\ne0a=0, quelle règle des puissances faut-il appliquer ?

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2. Pour rationaliser le dénominateur de $\frac{2}{5+\sqrt{3}}$ , par quel facteur faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur ?

3. Quelle écriture développe correctement $x^5$ selon la définition d’une puissance ?

4. Un élève simplifie $\frac{y^9}{y^4}\times y^2$ , avec $y\ne0$ . Quelle puissance obtient-il ?

5. Que représente la valeur absolue d’un nombre réel négatif $x$ ?

6. Quel est le centre de l’intervalle $[2;8]$ ?

7. À quoi sert le terme $2ab$ dans le développement du carré d’une somme $(a+b)^2$ ?

9. Pourquoi multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{3-\sqrt5}$ par le conjugué du dénominateur permet-il de rationaliser celui-ci ?

10. Pour calculer $\frac{a^6}{a^2}$ avec $a\ne0$ , quelle règle des puissances faut-il appliquer ?