Fiche de révision : QCM de résistance des matériaux

📋 Plan du Cours

1. Consignes et conventions mécaniques
2. Ordres de grandeur et unités
3. Équilibre et moments des forces
4. Effort tranchant et effort normal
5. Caractéristiques géométriques des sections
6. Stabilité et diagrammes internes
7. Flambement et longueur équivalente
8. Structures hyperstatiques et rigidité

📖 1. Consignes et conventions mécaniques

★ À maîtriser

📌 Le poids propre de la structure est systématiquement négligé dans les exercices.

📌 Pour une poutre horizontale, un moment fléchissant positif tend les fibres inférieures.

Compléments

📌 Dans ce cours, les termes inertie, moment d’inertie et moment quadratique désignent la même caractéristique géométrique.

📖 2. Ordres de grandeur et unités

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’unité d’un moment mécanique est le newton-mètre, noté $\mathrm{N\cdot m}$.

• L’ordre de grandeur du poids d’un adulte est d’environ 750 N.

• La résistance en compression d’un béton ordinaire est d’environ 30 MPa, ce qui est équivalent à 300 daN·cm⁻².

💡 Astuce mémo

Le moment est une force multipliée par une longueur : N·m, contrairement à la force seule en N.

📖 3. Équilibre et moments des forces

★ À maîtriser

• Le moment d’une force par rapport à un point est égal au produit de la force par son bras de levier, avec un signe dépendant du sens de rotation.

📐 Formule — Pour deux forces P et Q appliquées en A, le moment en B s’écrit selon les bras de levier orientés $M_B=-P\,a+Q\,b$.

📌 Pour éviter le basculement d’un chargeur, la somme des moments des poids par rapport au point de rotation limite doit être nulle ou rester dans le sens stabilisant.

Compléments

📌 Un câble placé entre le mur C et la potence D s’oppose au basculement horaire de la potence autour de l’articulation E par son effort de traction.

💡 Astuce mémo

Une force excentrée crée un moment : force × bras de levier.

📖 4. Effort tranchant et effort normal

★ À maîtriser

• Dans un pieu soumis à une force F en tête et à un frottement latéral constant, l’effort normal varie linéairement le long du pieu, atteint sa valeur absolue maximale en tête et l’effort normal en tête a une valeur absolue égale à F.

Compléments

📌 Un pieu soumis à une charge verticale en tête est comprimé sur toute sa hauteur lorsque les efforts de contact et de pointe s’opposent à cette charge.

💡 Astuce mémo

Dans le pieu, le frottement latéral s’accumule de la tête vers le pied et fait varier l’effort normal.

📖 5. Caractéristiques géométriques des sections

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une section rectangulaire de largeur b et de hauteur h, le moment quadratique par rapport à l’axe Oy vaut $I_{Oy}=\frac{h b^3}{12}$ lorsque b est la dimension perpendiculaire à cet axe selon la convention de la section.

📐 Formule — Pour un disque de rayon R et de diamètre φ, le moment quadratique par rapport à tout axe passant par son centre vaut $I=\frac{\pi R^4}{4}=\frac{\pi\phi^4}{64}$.

Compléments

📌 Par symétrie du disque, les moments quadratiques centraux par rapport aux axes Gy et Gs sont égaux.

💡 Astuce mémo

Le moment quadratique autour d’un axe augmente fortement avec la dimension située perpendiculairement à cet axe.

📖 6. Stabilité et diagrammes internes

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’hyperstaticité : Mesure le nombre d’inconnues de liaison ou d’efforts supplémentaires par rapport aux seules équations d’équilibre disponibles.

★ À maîtriser

📌 Une structure isostatique est déterminable par les seules équations d’équilibre, alors qu’une structure hyperstatique nécessite des relations supplémentaires de compatibilité ou de déformation.

• Pour établir un diagramme de moment fléchissant, on détermine les réactions d’appui, puis on écrit le moment le long de chaque élément et on repère ses valeurs et variations.

📐 Formule — L’équilibre vertical d’une structure chargée par une résultante répartie qL impose que la somme des réactions verticales compense cette charge : $Y_A+Y_B+Y_C-2qL=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour une poutre soumise à une charge répartie uniforme q, une expression de moment fléchissant peut s’écrire $M_L=-\frac{qL}{2}x$ selon la convention et la position x considérées.

💡 Astuce mémo

Une structure isostatique se résout par l’équilibre, tandis qu’une structure hyperstatique exige des relations supplémentaires.

📖 7. Flambement et longueur équivalente

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur de flambement : Longueur équivalente utilisée pour caractériser le flambement d’un poteau selon ses conditions d’appui.

📝 Points essentiels

📌 Pour le poteau AB de hauteur H considéré, la longueur de flambement est comprise entre 0,7H et H selon les conditions d’appui proposées.

📖 8. Structures hyperstatiques et rigidité

★ À maîtriser

📐 Formule — Le paramètre de rigidité relative de la structure vaut $\alpha=\frac{I H}{S L^3}$, où I est le moment quadratique des poutres, H la hauteur des poteaux, S leur section et L la portée totale.

📌 Si α est très petit, les efforts normaux dans les trois poteaux tendent vers une répartition égale, soit $N_{B3}=N_{B4}=N_{B5}=\frac{P}{3}$.

📌 Si α est très grand, les efforts normaux dans les poteaux extérieurs tendent vers $N_{B3}=N_{B5}=\frac{P}{2}$ tandis que l’effort dans le poteau central tend vers zéro.

Compléments

📌 Un grand α correspond à une rigidité en flexion des poutres très grande par rapport à la rigidité en compression des poteaux, tandis qu’un petit α correspond à une rigidité en flexion des poutres faible relativement à celle des poteaux.

💡 Astuce mémo

Quand la rigidité relative des poutres augmente, les poteaux centraux reprennent moins d’effort normal.

📊 Tableaux de synthèse

Ordres de grandeur mécaniques

Effet du paramètre α