Fiche de révision : Calcul littéral et expressions algébriques

📋 Plan du Cours

1. Égalité de deux quotients
2. Puissances à exposant relatif
3. Développement et réduction
4. Factorisation des expressions
5. Produit nul et carrés égaux
6. Monômes et polynômes
7. Fractions rationnelles
8. Applications et résolution de problèmes

📖 1. Égalité de deux quotients

★ À maîtriser

📌 Pour des nombres a, b, c et d tels que b ≠ 0 et d ≠ 0, l’égalité $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ équivaut à $ad=bc$.

Compléments

• Si $\frac{a}{3}=\frac{2}{5}$, alors $5a=6$ et donc $a=\frac{6}{5}=1{,}2$.

💡 Astuce mémo

Dénominateurs non nuls → produits en croix égaux

📖 2. Puissances à exposant relatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance à exposant négatif : Pour un nombre rationnel a non nul et un entier naturel n non nul, l’inverse de $a^n$ est noté $a^{-n}$ et vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des bases non nulles et des exposants entiers relatifs, on a $a^n b^n=(ab)^n$, $a^n a^m=a^{n+m}$, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier les puissances : additionner ; diviser : soustraire

📖 3. Développement et réduction

★ À maîtriser

📐 Formule — La suppression des parenthèses vérifie $a+(b-c)=a+b-c$, $a-(b+c)=a-b-c$ et $a-(b-c)=a-b+c$.

📐 Formule — Les développements usuels sont $a(x+y)=ax+ay$ et $a(x-y)=ax-ay$.

📐 Formule — Les égalités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

📌 La multiplication est prioritaire sur l’addition et la soustraction, tandis que l’élévation à une puissance est prioritaire sur la multiplication.

📖 4. Factorisation des expressions

★ À maîtriser

• 🔄 Les principales techniques de factorisation sont:
  1. mettre en évidence un facteur commun
  2. utiliser une égalité remarquable
  3. combiner plusieurs techniques

Compléments

• L’expression $3x(2x+1)-17(2x+1)$ se factorise en $(2x+1)(3x-17)$.

💡 Astuce mémo

Facteur commun → identité remarquable → techniques combinées

📖 5. Produit nul et carrés égaux

★ À maîtriser

📌 Pour des nombres rationnels a et b, $ab=0$ équivaut à $a=0$ ou $b=0$, tandis que $ab\neq0$ équivaut à $a\neq0$ et $b\neq0$.

📌 Pour des nombres rationnels a et b, $a^2=b^2$ équivaut à $a=b$ ou $a=-b$.

Compléments

• L’équation $x^2=49$ a pour solutions $x=7$ ou $x=-7$.

💡 Astuce mémo

Produit nul : une factorisation donne deux cas ; carré égal : deux opposés possibles

📖 6. Monômes et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : L’expression $5x^2$ est un monôme en x dont 5 est le coefficient et 2 le degré.
• Polynôme : L’expression $22x^9+76x^6-5$ est un polynôme en x de degré 9.

📝 Points essentiels

• Après développement et réduction, $(2x^3-1)(3x+2)-x(5x^2-7)=6x^4-x^3+4x-2$.

📖 7. Fractions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction rationnelle : Une expression constituée d’un numérateur et d’un dénominateur littéraux, comme $\frac{x^2+5x}{2x^2-1}$.

★ À maîtriser

📌 Une fraction rationnelle $\frac{A}{B}$ existe si et seulement si son dénominateur B est différent de zéro.

• Pour simplifier une fraction rationnelle, il faut factoriser le numérateur et le dénominateur, déterminer les valeurs interdites, simplifier les facteurs communs et conserver la condition d’existence.

Compléments

• Pour $x\neq-3$ et $x\neq1$, la fraction $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-1)}$ se simplifie en $\frac{x-3}{x-1}$.

💡 Astuce mémo

Factoriser → imposer le dénominateur non nul → simplifier

📖 8. Applications et résolution de problèmes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x objets vendus à 2000 F l’unité, la recette est $R=2000x$ et, avec $C=2090x-x^2$, le bénéfice vérifie $B=R-C=x(x-90)$.

• L’équilibre des dépenses et de la recette signifie $B=0$, donc $x=0$ ou $x=90$ ; comme x est positif, le nombre d’articles recherché est 90.

Compléments

• Dans la figure avec un carré de côté $2x+1$ et un rectangle de hauteur $x+3$, la longueur $FD$ vaut $x-2$ et l’aire de la région FECD vaut $(2x+1)(x-2)$.

💡 Astuce mémo

Recette − coût → bénéfice factorisé → produit nul

📊 Tableaux de synthèse

Identités remarquables