Fiche de révision : Racines carrées et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Encadrement des racines carrées
2. Règles de calcul des racines
3. Développer et factoriser
4. Identités remarquables

📖 1. Encadrement des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre qui a rarement une valeur exacte et qui peut alors être donné par une valeur approchée ou un encadrement entre deux entiers consécutifs.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour encadrer une racine carrée:

  1. Encadrer le nombre sous le radical entre deux carrés parfaits.
  2. Prendre les racines carrées des trois nombres.
  3. Obtenir l'encadrement entre deux entiers consécutifs.

• Comme 16 < 18 < 25, on obtient √16 < √18 < √25, donc l'encadrement de √18 est 4 < √18 < 5.

Compléments

• Les carrés parfaits de 1 à 12 sont 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100, 11² = 121 et 12² = 144.

💡 Astuce mémo

Carrés parfaits → encadrement → racines consécutives

📖 2. Règles de calcul des racines

★ À maîtriser

• Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres placés sous leur radical.

• La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans le cadre étudié, ainsi √−3 est interdit.

• (-3)² = 9, tandis que -3² = -9, car les parenthèses font porter le carré sur le nombre négatif entier.

📐 Formule — Les règles données sont $(\sqrt{a})^2 = a$, $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$, $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Compléments

• On peut additionner des racines carrées semblables : 7√2 + 3√2 = 10√2.

💡 Astuce mémo

(-3)² = 9, tandis que -3² = -9

📖 3. Développer et factoriser

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Transformer toujours un produit en une somme.
• Factoriser : Transformer toujours une somme en un produit.

📝 Points essentiels

• En développant -2x(3x+4), on obtient -2x × 3x - 2x × 4 = -6x² - 8x.

• En factorisant 2x + 12, on écrit 2x + 2 × 6, puis 2(x + 6).

💡 Astuce mémo

Développer : produit → somme ; factoriser : somme → produit

📖 4. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — La première identité remarquable est $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — La deuxième identité remarquable est $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La troisième identité remarquable est $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• L'application de cette identité donne (x+5)² = x² + 10x + 25.

💡 Astuce mémo

Un carré devient trois termes ; une différence de carrés devient deux facteurs

📊 Tableaux de synthèse

Développer ou factoriser