Fiche de révision : Racines des nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Racines n-ièmes en forme exponentielle
2. Racines cubiques de l’unité complexe
3. Racines carrées par méthode algébrique

📖 1. Racines n-ièmes en forme exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $z=|z|e^{i\theta}$, ses racines n-ièmes sont $z_k=\sqrt[n]{|z|}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$ pour $k\in\{0{,}1,\ldots,n-1\}$.

Compléments

• Pour déterminer les racines n-ièmes de $z=|z|e^{i\theta}$, on prend le module $\sqrt[n]{|z|}$ et les arguments $\frac{\theta+2k\pi}{n}$ pour $k=0{,}1,\ldots,n-1$.

📖 2. Racines cubiques de l’unité complexe

📝 Points essentiels

• Les trois racines cubiques de $i=e^{i\pi/2}$ sont $e^{i\pi/6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i$, $e^{i5\pi/6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i$ et $e^{i3\pi/2}=-i$.

📖 3. Racines carrées par méthode algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée d’un nombre complexe : Une racine carrée $w=x+iy$ d’un nombre complexe $z=a+ib$ vérifie $w^2=z$ et $|w|^2=|z|$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $z=a+ib$ et une racine carrée $w=x+iy$ telle que $w^2=z$, les composantes vérifient $x^2-y^2=a$, $2xy=b$ et $x^2+y^2=|z|$.

Compléments

• Pour rechercher algébriquement les racines carrées de $z=a+ib$, on écrit $w=x+iy$, on développe $w^2$, puis on égalise les parties réelle et imaginaire à celles de $z$ et on utilise $x^2+y^2=|z|$.