Flashcards : Racines des nombres complexes (5 cartes)

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1Question

Quelle formule donne les racines n-ièmes de z=∣z∣eiθz=|z|e^{i\theta} ?

Réponse

zk=∣z∣n eiθ+2kπnz_k=\sqrt[n]{|z|}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}} pour k=0,1,…,n−1k=0,1,\ldots,n-1.

2Question

Quelles sont les trois racines cubiques de i=eiπ/2i=e^{i\pi/2} ?

Réponse

eiπ/6=32+12ie^{i\pi/6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i, ei5π/6=−32+12ie^{i5\pi/6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i et ei3π/2=−ie^{i3\pi/2}=-i.

3Question

Comment déterminer le module et les arguments des racines n-ièmes de z=∣z∣eiθz=|z|e^{i\theta} ?

Réponse

Le module est ∣z∣n\sqrt[n]{|z|} et les arguments sont θ+2kπn\frac{\theta+2k\pi}{n} pour k=0,1,…,n−1k=0,1,\ldots,n-1.

4Question

Quelles propriétés vérifie une racine carrée complexe ww de zz ?

Réponse

w2=zw^2=z et ∣w∣2=∣z∣|w|^2=|z|.

5Question

Comment rechercher algébriquement les racines carrées de z=a+ibz=a+ib ?

Réponse

Écrire w=x+iyw=x+iy, développer w2w^2, égaliser les parties réelle et imaginaire, puis utiliser x2+y2=∣z∣x^2+y^2=|z|.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 6 questions sur Racines des nombres complexes.

1. Pour z=16eiπ/3z=16e^{i\pi/3}, quelle expression donne l’ensemble de ses racines quatrièmes, avec k=0,1,2,3k=0,1,2,3 ?

2. Un nombre complexe de module 8181 et d’argument π2\frac{\pi}{2} doit être extrait à la racine quatrième. Quels sont le module et les arguments à utiliser pour construire ses racines ?

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