QCM : Racines des nombres complexes (6 questions)

Question 1

1. Pour $z=16e^{i\pi/3}$ , quelle expression donne l’ensemble de ses racines quatrièmes, avec $k=0,1,2,3$ ?

2e^{i\left(\pi/3+\frac{k\pi}{2}\right)}

16e^{i\frac{\pi/3+2k\pi}{4}}

2e^{i\frac{\pi/3+2k\pi}{4}}

2e^{i\frac{\pi}{12}}

Explication

Une racine quatrième a pour module $\sqrt[4]{16}=2$ et pour argument $\frac{\pi/3+2k\pi}{4}$ . Garder le module 16 néglige l’extraction de la racine, tandis que les autres expressions omettent ou modifient la variation liée à k.

Answer

$$2e^{i\frac{\pi/3+2k\pi}{4}}$$

Question 2

2. Un nombre complexe de module $81$ et d’argument $\frac{\pi}{2}$ doit être extrait à la racine quatrième. Quels sont le module et les arguments à utiliser pour construire ses racines ?

Module

20,25

et arguments

\frac{\pi/2+2k\pi}{4}

, pour

k=0,1,2,3

Module

81

et arguments

\frac{\pi/2+2k\pi}{4}

, pour

k=0,1,2,3

Module

3

et argument

\frac{\pi}{8}

pour chaque racine

Module

3

et arguments

\frac{\pi/2+2k\pi}{4}

, pour

k=0,1,2,3

Explication

Le module des racines est $\sqrt[4]{81}=3$ ; leurs arguments sont $\frac{\pi/2+2k\pi}{4}$ pour les quatre valeurs de k. Conserver 81 ou le diviser par quatre confond la racine quatrième avec une autre opération; un seul argument omet les autres valeurs de k.

Answer

Module $$3$$ et arguments $$\frac{\pi/2+2k\pi}{4}$$, pour $$k=0,1,2,3$$

Question 3

3. Un étudiant cherche les racines cubiques de $i$ . Quel ensemble obtient-il en tenant compte du module unitaire et des trois arguments distincts ?

1,\ e^{i2\pi/3},\ e^{i4\pi/3}

e^{i\pi/6},\ e^{i5\pi/6},\ e^{i3\pi/2}

e^{i\pi/4},\ e^{i5\pi/4}

e^{i\pi/3},\ e^{i\pi},\ e^{i5\pi/3}

Explication

Comme $i=e^{i\pi/2}$ et $|i|=1$ , les arguments des racines cubiques sont $\frac{\pi/2+2k\pi}{3}$ pour $k=0,1,2$ , soit $\pi/6$ , $5\pi/6$ et $3\pi/2$ . L’ensemble de racines de l’unité correspond à un autre nombre, et les autres propositions omettent le décalage ou appliquent un autre indice de racine.

Answer

$$e^{i\pi/6},\ e^{i5\pi/6},\ e^{i3\pi/2}$$

Question 4

4. Que signifie qu’un nombre complexe $w=x+iy$ est une racine carrée de $z=a+ib$ ?

Son carré est égal au conjugué de

z

, et son module au carré vaut

|z|

.

Sa partie réelle et sa partie imaginaire sont égales à celles de

z

.

Son module est égal à

z

, et son argument est la moitié de celui de

z

.

Son carré est égal à

z

, et son module au carré est égal au module de

z

.

Explication

Être une racine carrée signifie vérifier $w^2=z$ ; cette relation implique aussi $|w|^2=|z|$ . Avoir un argument moitié de celui de $z$ peut décrire une construction en forme exponentielle, mais ne constitue pas à elle seule la définition algébrique demandée.

Answer

Son carré est égal à $$z$$, et son module au carré est égal au module de $$z$$.

Question 5

5. Pour déterminer les racines $n$ -ièmes de $z=|z|e^{i\theta}$ , quelle expression donne leur module ?

\sqrt{|z|}

\sqrt[n]{|z|}

|z|^n

\frac{|z|}{n}

Explication

Le module de chacune des racines est la racine $n$ -ième du module de $z$ . L’expression $\sqrt{|z|}$ correspond au cas particulier des racines carrées, et non à un indice général $n$ .

Answer

$$\sqrt[n]{|z|}$$

Question 6

6. Quel est le rôle de l’entier $k$ dans la formule des racines n-ièmes d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle ?

Il détermine le module de chaque racine en multipliant le module initial par

n

.

Il convertit l’argument initial en degrés avant d’extraire la racine n-ième.

Il fixe le nombre de racines en ajoutant

k

au degré de l’équation.

Il permet d’obtenir les différents arguments des racines en ajoutant des multiples de

2\pi

avant de diviser par

n

.

Explication

Les valeurs de $k$ de $0$ à $n-1$ produisent les différents arguments $\frac{\theta+2k\pi}{n}$ des racines. L’entier $k$ ne modifie pas leur module, qui est $\sqrt[n]{|z|}$ .

Answer

Il permet d’obtenir les différents arguments des racines en ajoutant des multiples de $$2\pi$$ avant de diviser par $$n$$.

QCM : Racines des nombres complexes (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour $z=16e^{i\pi/3}$ , quelle expression donne l’ensemble de ses racines quatrièmes, avec $k=0,1,2,3$ ?

2. Un nombre complexe de module $81$ et d’argument $\frac{\pi}{2}$ doit être extrait à la racine quatrième. Quels sont le module et les arguments à utiliser pour construire ses racines ?

3. Un étudiant cherche les racines cubiques de $i$ . Quel ensemble obtient-il en tenant compte du module unitaire et des trois arguments distincts ?

4. Que signifie qu’un nombre complexe $w=x+iy$ est une racine carrée de $z=a+ib$ ?

5. Pour déterminer les racines $n$ -ièmes de $z=|z|e^{i\theta}$ , quelle expression donne leur module ?

6. Quel est le rôle de l’entier $k$ dans la formule des racines n-ièmes d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle ?

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QCM : Racines des nombres complexes (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour z=16eiπ/3z=16e^{i\pi/3}z=16eiπ/3, quelle expression donne l’ensemble de ses racines quatrièmes, avec k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3 ?

2. Un nombre complexe de module 818181 et d’argument π2\frac{\pi}{2}2π​ doit être extrait à la racine quatrième. Quels sont le module et les arguments à utiliser pour construire ses racines ?

3. Un étudiant cherche les racines cubiques de iii. Quel ensemble obtient-il en tenant compte du module unitaire et des trois arguments distincts ?

4. Que signifie qu’un nombre complexe w=x+iyw=x+iyw=x+iy est une racine carrée de z=a+ibz=a+ibz=a+ib ?

5. Pour déterminer les racines nnn-ièmes de z=∣z∣eiθz=|z|e^{i\theta}z=∣z∣eiθ, quelle expression donne leur module ?

6. Quel est le rôle de l’entier kkk dans la formule des racines n-ièmes d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle ?

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1. Pour $z=16e^{i\pi/3}$ , quelle expression donne l’ensemble de ses racines quatrièmes, avec $k=0,1,2,3$ ?

2. Un nombre complexe de module $81$ et d’argument $\frac{\pi}{2}$ doit être extrait à la racine quatrième. Quels sont le module et les arguments à utiliser pour construire ses racines ?

3. Un étudiant cherche les racines cubiques de $i$ . Quel ensemble obtient-il en tenant compte du module unitaire et des trois arguments distincts ?

4. Que signifie qu’un nombre complexe $w=x+iy$ est une racine carrée de $z=a+ib$ ?

5. Pour déterminer les racines $n$ -ièmes de $z=|z|e^{i\theta}$ , quelle expression donne leur module ?

6. Quel est le rôle de l’entier $k$ dans la formule des racines n-ièmes d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle ?