QCM : Séries et séries de Fourier (41 questions)

Explication

Une série associée à $(u_n)$ s’étudie à travers la suite de ses sommes partielles. Examiner les termes séparément ou leurs différences ne revient pas à former ces sommes cumulées.

Explication

Une série converge lorsque la suite de ses sommes partielles possède une limite finie, ici $5$. La divergence vers l’infini ou l’absence de limite ne correspond pas à cette situation.

Explication

La convergence d’une série impose que son terme général tende vers zéro, mais cette condition n’est pas suffisante. La limite nulle des termes ne garantit donc pas la convergence de la série.

Explication

Comme $|z|=\frac12<1$, la série converge et sa somme vaut $\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-\frac12}=2$. L’expression dépendant de $N$ est une somme partielle, pas la somme infinie.

Explication

Une série trigonométrique associe une fréquence fondamentale aux fonctions trigonométriques dont les fréquences sont ses multiples entiers. Les multiples fractionnaires ou l’absence de fréquences multiples ne décrivent pas cette structure.

Explication

La somme partielle réelle comprend le terme constant $a_0/2$, puis des termes en cosinus et en sinus avec des fréquences indexées par $k$. Écrire $a_0$, réutiliser les coefficients des cosinus ou supprimer le facteur $k$ modifie cette forme.

Explication

Une période est une valeur positive qui laisse la fonction inchangée par translation, et la moindre période est la plus petite de ces valeurs positives. Par hypothèse, cette valeur est $6$.

Explication

La règle donne une période $T$ pour $g(x)=f\left(\frac{2\pi}{T}x\right)$ lorsque $f$ est $2\pi$-périodique. Ici, le facteur intérieur est $\frac{2\pi}{5}$, donc $T=5$.

Explication

Chaque coefficient est une intégrale sur $[-L,L]$, normalisée par $1/L$, avec le cosinus pour $a_n$ et le sinus pour $b_n$. L’absence de normalisation, l’interversion des fonctions trigonométriques et le changement d’intervalle sont des erreurs de formule.

Explication

Pour une fonction impaire, tous les coefficients $a_n$ s’annulent, tandis que la parité paire annule les coefficients $b_n$. Annuler les deux familles ou aucune ne découle pas de cette règle.

Explication

La série comprend le terme constant $a_0/2$ et, pour chaque indice, un terme en cosinus associé à $a_n$ et un terme en sinus associé à $b_n$, avec l’argument $n\pi x/L$. Les autres expressions modifient le terme constant, la période représentée ou l’association des coefficients.

Explication

La valeur moyenne sur la période de longueur $2L$ est l’intégrale sur $[-L,L]$ divisée par $2L$, soit $a_0/2$. L’intégrale non normalisée et l’intégrale sur une demi-période ne donnent pas cette moyenne, et le coefficient constant correspondant est $a_0/2$, non $a_0$.

Explication

La composante continue, aussi appelée valeur DC, correspond à la valeur moyenne $a_0/2$; le terme d’indice $1$ est la fondamentale ou première harmonique. Les autres réponses échangent ces rôles, omettent le facteur deux ou attribuent la fondamentale à l’indice zéro.

Explication

Aux points de discontinuité, la série converge vers la moyenne des limites latérales : $\frac{2+8}{2}=5$. $8$ et $2$ sont les limites unilatérales prises séparément, tandis que $f(x_0)$ peut être différente de cette moyenne.

Explication

Sous ces hypothèses, la série converge vers la fonction aux points de continuité, et vers la moyenne des limites latérales aux points de discontinuité. La moyenne latérale concerne donc les sauts, la dérivée n’est pas la valeur limite visée, et les hypothèses données assurent bien la convergence.

Explication

Le coefficient complexe est obtenu en intégrant le produit de $f(x)$ par l’exponentielle de signe négatif, avec la normalisation $1/(2L)$. Le signe positif inverse le noyau, l’intégrale sans facteur omet la normalisation et l’intégrale en cosinus donne une forme de coefficient réel.

Explication

Un signal périodique de période $T$ est associé à des sinusoïdes d’amplitudes finies dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale $1/T$ : le spectre est donc constitué de raies. Les fréquences quelconques évoquent un spectre continu, et $T$ n’est pas la fréquence fondamentale.

Explication

Le théorème s'applique lorsque f et f' sont continues par morceaux sur tout intervalle fini et que f est absolument intégrable sur ℝ. L'intégrabilité seule néglige la régularité requise, tandis que la périodicité n'est pas une condition énoncée.

Explication

À une discontinuité, la valeur reconstruite est la moyenne des limites latérales : $(2+8)/2=5$. Choisir 8 ou 2 revient à ne retenir qu'un côté, et 10 correspond à la somme sans division par deux.

Explication

Dans cette convention, la transformée directe utilise l'exponentielle de signe négatif sans facteur de normalisation, tandis que l'inverse utilise le signe positif et le facteur $1/(2\pi)$. Les autres paires inversent les signes ou déplacent ou omettent ce facteur.

Explication

Une intégrale finie de $|h|$ est précisément la condition d'intégrabilité absolue, équivalente à $h\in L^1(\mathbb{R})$. La classe L² concerne une autre puissance, et l'intégrale de h peut différer de celle de |h|.

Explication

Pour une fonction impaire, la transformée en sinus s'obtient en intégrant le produit avec $\sin(\alpha u)$ de zéro à l'infini. Le noyau cosinus correspond au cas pair, le facteur $\frac{2}{\pi}$ appartient à la formule inverse, et l'intégrale directe indiquée porte sur la demi-droite positive.

Explication

L'inversion de la transformée en cosinus multiplie l'intégrale par $\frac{2}{\pi}$ et conserve le noyau cosinus. Omettre ce facteur confond l'inverse avec une intégrale non normalisée, tandis que le sinus relève de la transformée adaptée aux fonctions impaires.

Explication

La linéarité conserve les coefficients et les signes : la transformée de $3f-2g$ est $3F-2G$. Échanger les coefficients ou changer le signe contredit cette règle, et le produit des transformées correspond à une propriété liée à la convolution.

Explication

Un décalage de la forme $f(x-a)$ multiplie la transformée par le facteur de phase $e^{-i\alpha a}$ ; ici, $a=4$. Le signe opposé inverse le décalage, l'absence de facteur néglige son effet, et diviser la phase par quatre utilise une valeur erronée de $a$.

Explication

La transformée de Fourier échange la convolution des fonctions avec la multiplication ordinaire de leurs transformées : $\mathcal{F}\{f*g\}=FG$. Le produit de convolution des transformées correspond à une autre opération, tandis que leur somme ne représente pas la convolution.

Explication

La transformée unilatérale est l’intégrale de $f(t)e^{-st}$ de zéro à l’infini, sous réserve de convergence. L’intégrale sans exponentielle omet la pondération, celle sur tout l’axe inclut les temps négatifs, et l’exponentielle $e^{st}$ inverse le signe de l’exposant.

Explication

Un échelon d’amplitude $K$ vaut zéro avant l’origine et $K$ après celle-ci; ici, ces valeurs sont donc $0$ et $5$. L’ordre inversé correspond à un échelon descendant, tandis que les valeurs $1$ et $2{,}5$ ne sont pas l’amplitude donnée.

Explication

La transformée de Laplace de l’échelon unitaire est $1/s$. La valeur $1$ correspondrait à une impulsion unitaire, tandis que $1/s^2$ est associée à une rampe et $s$ n’est pas la transformée de l’échelon.

Explication

L’impulsion de Dirac est nulle hors de l’origine et son intégrale sur la droite réelle vaut un. L’échelon décrit une valeur constante après l’origine, tandis qu’une fonction nulle d’intégrale nulle n’a pas l’aire unitaire caractéristique de l’impulsion.

Explication

La transformée de $\sin(wt)$ est $w/(w^2+s^2)$; pour $w=4$, elle vaut donc $4/(s^2+16)$. Le numérateur $s$ correspond au cosinus, tandis que les autres distracteurs modifient le numérateur ou le carré de $w$.

Explication

La transformée de la dérivée est $sF(s)-f(0^-)$; avec une valeur initiale égale à trois, elle devient $sF(s)-3$. L’expression $sF(s)$ omet la condition initiale, $sF(s)+3$ en inverse le signe, et $F(s)/s$ correspond à l’intégration.

Explication

L’intégration temporelle de zéro moins à $t$ correspond à une division de la transformée par $s$, d’où $F(s)/s$. La multiplication par $s$ correspond à l’opération de dérivation, et les autres expressions omettent ou ajoutent un facteur de division.

Explication

La méthode consiste à écrire l’équation des courants, la convertir en équation algébrique dans le domaine de Laplace, isoler $V(s)$ et revenir ensuite au temps par transformée inverse. Appliquer l’inverse avant l’isolement, omettre la transformation ou transformer après avoir isolé directement $v(t)$ ne suit pas cette démarche.

Explication

Pour des circuits linéaires à composants discrets $R$, $L$ ou $C$ constants, les transformées des tensions et des courants sont des fonctions rationnelles de $s$. Une fonction polynomiale est un cas plus restreint, les valeurs variables ne sont pas celles visées, et une fonction du temps n’est pas une transformée en $s$.

Explication

La décomposition en fractions partielles commence par la factorisation du dénominateur; on exprime ensuite la fonction en termes simples et on inverse chaque terme. Décomposer avant cette factorisation, inverser avant la décomposition ou factoriser le numérateur confond l’ordre ou l’élément de la méthode.

Explication

Une racine du numérateur est un zéro, tandis qu’une racine du dénominateur est un pôle; la classification dépend donc de l’endroit où chaque racine annule la fonction rationnelle. Inverser ces termes ou classer les deux racines de la même manière néglige cette distinction.

Explication

Comme le signal ne contient pas d’impulsion, sa valeur initiale est $\lim_{s\to\infty}sF(s)=\lim_{s\to\infty}\frac{3s^2+2s}{s^2+4s+5}=3$. La valeur 0 omet le facteur s, tandis que 2 et 1 ne résultent pas de cette limite.

Explication

Les pôles sont en $s=-2$ et $s=-3$, donc la condition est satisfaite; la valeur finale vaut $\lim_{s\to0}sF(s)=\lim_{s\to0}\frac{6s}{(s+2)(s+3)}=0$. La valeur 6 omet le facteur s, et 1 correspond à évaluer F(0) plutôt que sF(s).

Explication

Le module est $\sqrt{3^2+4^2}=5$ et la phase se calcule avec $\operatorname{atan2}(F_i,F_r)=\operatorname{atan2}(4,3)$. La somme des composantes donne $7$, l’ordre inversé donne une autre phase, et le seul composant réel ne suffit pas à calculer le module.

Explication

L’impulsion $\delta(t-2)$ échantillonne la fonction au point $t=2$, donc l’intégrale vaut $f(2)=2^2+1=5$. Évaluer en $-2$ ou en zéro applique le décalage avec un signe erroné ou l’ignore, tandis que l’intégrale proposée ne tient pas compte de la propriété d’échantillonnage.