Fiche de révision : Séries et séries de Fourier

📋 Plan du Cours

1. Notion, convergence et séries usuelles
2. Séries trigonométriques et périodicité
3. Définition et coefficients de Fourier
4. Fréquences et composantes du signal
5. Convergence ponctuelle des séries
6. Forme complexe et spectre de Fourier
7. Porte périodisée et théorème de Fourier intégral
8. Transformée de Fourier
9. Transformées de Fourier trigonométriques et propriétés
10. Produit de convolution
11. Transformée de Laplace et signaux élémentaires
12. Transformées de Laplace usuelles et opérationnelles
13. Analyse des circuits par Laplace
14. Fractions partielles et racines
15. Valeurs initiale et finale

📖 1. Notion, convergence et séries usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série : Une série associée à une suite $(u_n)$ étudie la suite des sommes partielles $S_N=\sum_{i=0}^{N}u_i$.
• Série de Riemann : La série de Riemann est la série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$, où $\alpha$ est réel, et elle converge si et seulement si $\alpha>1$.

★ À maîtriser

• Une série converge si la suite de ses sommes partielles possède une limite finie et diverge si cette limite n’existe pas.

• La convergence d’une série implique que son terme général tend vers 0, mais la réciproque est fausse.

• La série géométrique de terme général $z^k$ converge si et seulement si $|z|<1$, et sa somme vaut $\frac{1}{1-z}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une série géométrique de raison $z\ne 1$, la somme partielle vaut $S_N=\frac{1-z^{N+1}}{1-z}$.

• Les séries géométriques $\sum_{n=0}^{\infty}(1/3)^n$ et $\sum_{n=0}^{\infty}(1/(1+i))^n$ sont convergentes.

• Pour une série de Riemann à exposant complexe, la convergence a lieu si et seulement si la partie réelle de l’exposant est supérieure à 1.

• La série harmonique est la série de Riemann correspondant à $\alpha=1$ et ses sommes partielles sont $S_N=1+\frac12+\cdots+\frac1N$.

💡 Astuce mémo

Terme général tendant vers 0 : condition nécessaire, jamais garantie de convergence.

📖 2. Séries trigonométriques et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Série trigonométrique : Une série trigonométrique combine une fréquence fondamentale et des fonctions trigonométriques de fréquences multiples entières de cette fréquence.

• Fonction périodique : Une fonction $f$ est périodique de période $T>0$ si $f(x+T)=f(x)$ ; sa moindre période est la plus petite période strictement positive.
• Orthogonalité trigonométrique : La famille des fonctions $1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\ldots$ est orthogonale sur tout intervalle de longueur $**2\pi**$ : l’intégrale du produit de deux fonctions distinctes de cette famille y est nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme partielle réelle d’ordre $N$ s’écrit $S_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{N}a_k\cos\left(k\frac{2\pi}{T}x\right)+\sum_{k=1}^{N}b_k\sin\left(k\frac{2\pi}{T}x\right)$.

📌 Si $f$ est $2\pi$-périodique, alors la fonction définie par $g(x)=f\left(\frac{2\pi}{T}x\right)$ est $T$-périodique.

Compléments

📐 Formule - La somme partielle complexe d’ordre $N$ s’écrit $S_N(x)=\sum_{k=-N}^{N}c_k\exp\left(ik\frac{2\pi}{T}x\right)$.

• L’exponentielle complexe vérifie $\exp(iz)=\cos(z)+i\sin(z)$ avec $i^2=-1$.

• La moindre période de $\sin(x)$ est $2\pi$, celle de $\sin(nx)$ est $**2\pi/n**$ et celle de $\tan(x)$ est $\pi$.

📖 3. Définition et coefficients de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de Fourier : Pour une fonction $f$ définie sur $]-L,L[$ et prolongée périodiquement avec période $2L$, la série de Fourier est $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)$.
• Continuité par morceaux : Une fonction définie sur $[a,b]$ est continue par morceaux si elle est continue sur $[a,b]$ sauf en un nombre fini de points.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les coefficients de Fourier sont $a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$ et $b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$.

📌 Pour une fonction réelle, $2\pi$-périodique et continue par morceaux, la parité paire annule tous les coefficients $b_n$, tandis que la parité impaire annule tous les coefficients $a_n$.

Compléments

• Joseph Fourier (1768-1830), mathématicien et physicien français, a étudié la diffusion de la chaleur par décomposition d’une fonction en série trigonométrique convergente.

📖 4. Fréquences et composantes du signal

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur moyenne de f sur une période est $\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$.

📌 En théorie du signal, la valeur moyenne d’un signal, égale à $\frac{a_0}{2}$, est appelée composante continue ou valeur DC, tandis que le terme d’indice 1 est appelé fondamentale ou première harmonique.

Compléments

• Pour une fonction de période 2L, les fonctions trigonométriques de la série de Fourier ont des fréquences égales à des multiples entiers de la fréquence de f, qui vaut $\frac{1}{2L}$.

📐 Formule - Pour un signal de période T, sa fréquence fondamentale est $f=\frac{1}{T}$ et son terme harmonique d’indice n utilise la pulsation $\frac{2n\pi}{T}$.

📐 Formule - Pour calculer les coefficients de Fourier d’une fonction de période 2L, on peut intégrer sur tout intervalle de longueur 2L : $a_n=\frac{1}{L}\int_c^{c+2L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$ et $b_n=\frac{1}{L}\int_c^{c+2L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$.

📐 Formule - Lorsque L=π, les coefficients de Fourier sont $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$ et $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$.

💡 Astuce mémo

La composante continue décrit la moyenne ; la fondamentale décrit la première oscillation.

📖 5. Convergence ponctuelle des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle de Fourier : La somme partielle d’ordre N de la série de Fourier de f est $S_N^f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)$.
• Convergence ponctuelle : Une série de fonctions $\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)$ converge ponctuellement vers f sur S si $\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}f_n(x)-f(x)\right)=0$ pour tout x de S.

★ À maîtriser

📌 Si f est définie sur [−L,L] sauf en un nombre fini de points, est 2L-périodique et que f ainsi que f′ sont continues par morceaux, sa série de Fourier converge vers f(x) aux points de continuité et vers $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ aux points de discontinuité.

📌 Si f est 2L-périodique et bornée, et possède sur chaque intervalle d’une période un nombre fini de discontinuités et d’extrema locaux, sa série de Fourier converge vers f aux points de continuité et vers la moyenne des limites latérales aux points de discontinuité.

Compléments

• Le contre-exemple de Du Bois-Reymond montre qu’une fonction continue sur ℝ peut avoir une série de Fourier divergente.

📖 6. Forme complexe et spectre de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Spectre de raies : Le développement en série de Fourier d’un signal périodique de période T l’associe à des sinusoïdes d’amplitudes finies et de fréquences multiples de la fréquence fondamentale $\frac{1}{T}$ ; on parle alors de spectre de raies.
• Sinus cardinal : En théorie du signal, le sinus cardinal est défini par $\operatorname{Sinc}(\pi x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La série de Fourier complexe s’écrit $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{jn\pi x/L}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{jn\omega x}$, avec $c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-jn\pi x/L}dx$.

Compléments

📐 Formule - La formule d’Euler donne $e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$ et $e^{-j\theta}=\cos(\theta)-j\sin(\theta)$, d’où $\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}$.

📐 Formule - Pour n positif, les coefficients complexes vérifient $c_n=\frac{a_n-jb_n}{2}$ et $c_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2}$, tandis que $c_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)dx$.

📌 Si f est discontinue en x, la somme de sa série de Fourier complexe doit être égale à $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ plutôt qu’à la valeur ponctuelle f(x).

📖 7. Porte périodisée et théorème de Fourier intégral

★ À maîtriser

📌 Si $f$ et $f'$ sont continues par morceaux sur tout intervalle fini et si $f$ est absolument intégrable sur $\mathbb{R}$, alors le théorème de Fourier intégral s’applique.

📐 Formule - Sous ces conditions, $f(x)=\int_0^{\infty}\left(A(\alpha)\cos(\alpha x)+B(\alpha)\sin(\alpha x)\right)\,d\alpha$, avec $A(\alpha)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(\alpha x)\,dx$ et $B(\alpha)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin(\alpha x)\,dx.$

Compléments

📐 Formule - Les coefficients de Fourier de la porte périodisée vérifient $F(n)=\frac{\sin(n\pi/2)}{n\pi}=\frac{1}{2}\operatorname{Sinc}\left(\frac{\pi n}{2}\right).$

📌 À un point de discontinuité, la valeur reconstruite par l’intégrale de Fourier est la moyenne $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ des limites latérales.

📐 Formule - Une forme complexe du développement intégral est $f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\alpha x}\,d\alpha\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\alpha u}\,du.$

📐 Formule - Si $f$ est impaire, alors $f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\sin(\alpha x)\,d\alpha\int_0^{\infty}f(u)\sin(\alpha u)\,du$ ; si $f$ est paire, alors $f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\cos(\alpha x)\,d\alpha\int_0^{\infty}f(u)\cos(\alpha u)\,du.$

• Le théorème de Riemann-Lebesgue affirme que, si $F$ est continue par morceaux sur $(a,b)$, ses intégrales contre $e^{i\alpha x}$, $\sin(\alpha x)$ et $\cos(\alpha x)$ sur $(a,b)$ tendent vers zéro lorsque $\alpha\to\infty$.

📖 8. Transformée de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Fourier : La transformée de Fourier de $f$ est la fonction $F(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\alpha u}\,du$, et la formule inverse est $f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\alpha)e^{j\alpha x}\,d\alpha$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La condition d’intégrabilité absolue s’écrit $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx<\infty$ et équivaut à $f\in L^1(\mathbb{R}).$

📐 Formule - Si $F(\alpha)=F_r(\alpha)+jF_i(\alpha)$, son spectre d’amplitude est $|F(\alpha)|=\sqrt{F_r(\alpha)^2+F_i(\alpha)^2}$ et son spectre de phase est $\arg(F(\alpha))=\operatorname{atan2}\bigl(F_i(\alpha),F_r(\alpha)\bigr)$ lorsque $F(\alpha)\ne 0$.

Compléments

• La variable $\alpha$ est appelée nombre d’onde $k$ lorsque $x$ représente une longueur, et pulsation $\omega$ lorsque la fonction dépend du temps.

📐 Formule - Pour une fonction temporelle, une convention donnée est $F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jt\omega}\,dt.$

📌 Pour que l’inversion redonne $f$, il suffit que $f$ et $f'$ soient continues par morceaux sur tout intervalle fini.

• Lors du filtrage audio, on modifie souvent le spectre d’amplitude parce que l’oreille est peu sensible aux distorsions de phase ; pour préserver la forme d’un signal, notamment dans le filtrage d’images, le spectre de phase est important.

💡 Astuce mémo

Le module décrit l’amplitude ; la phase contribue à préserver la forme du signal.

📖 9. Transformées de Fourier trigonométriques et propriétés

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction impaire f, sa transformée de Fourier en sinus est $F_S(\alpha)=\int_0^{\infty} f(u)\sin(\alpha u)\,du$ et la transformée inverse est $f(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}F_S(\alpha)\sin(\alpha x)\,d\alpha$.

📐 Formule - Pour une fonction paire f, sa transformée de Fourier en cosinus est $F_C(\alpha)=\int_0^{\infty} f(u)\cos(\alpha u)\,du$ et la transformée inverse est $f(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}F_C(\alpha)\cos(\alpha x)\,d\alpha$.

📐 Formule - La transformation de Fourier est linéaire : $\mathcal{F}\{\lambda f+\mu g\}(\alpha)=\lambda F(\alpha)+\mu G(\alpha)$ pour des scalaires λ et μ.

📐 Formule - La transformée de Fourier d’une fonction translatée vérifie $\mathcal{F}\{f(x-a)\}(\alpha)=e^{-i\alpha a}F(\alpha)$ pour un réel a.

Compléments

📐 Formule - Pour la porte définie par $f(x)=1$ si $|x|<a$ et $f(x)=0$ si $|x|>a$, la transformée de Fourier donnée par l’exemple vaut $F(\omega)=\frac{2\sin(\omega a)}{\omega}.$

📐 Formule - Pour la gaussienne $f(x)=e^{-\alpha x^2}$ avec $\alpha>0$, la transformée de Fourier donnée par l’exemple est $F(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\xi^2/(4\alpha)}.$

• Une fonction impaire permet de réduire le théorème de Fourier intégral à sa forme en sinus.

• La translation de f(x) produit un déphasage de sa transformée de Fourier proportionnel à α, représenté par le facteur de phase $e^{-i\alpha a}$.

📐 Formule - Si f est intégrable, dérivable et que sa dérivée est intégrable, la transformée de Fourier de f′ est définie par $\mathcal{F}\{f'(x)\}(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-i\alpha x}\,dx$.

💡 Astuce mémo

Fonction impaire → sinus ; fonction paire → cosinus.

📖 10. Produit de convolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de convolution : Le produit de convolution de deux fonctions f et g de ℝ dans ℝ, noté f∗g, est défini, s’il existe, par $(f∗g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(x-u)\,du$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La transformée de Fourier échange la convolution et la multiplication : $\mathcal{F}\{f∗g\}(\alpha)=F(\alpha)G(\alpha)$.

Compléments

• Sous des hypothèses générales de linéarité et d’invariance dans le temps, la sortie d’un système s’exprime comme la convolution du signal d’entrée avec une fonction dépendant du système.

💡 Astuce mémo

Convolution dans le domaine initial → multiplication des transformées.

📖 11. Transformée de Laplace et signaux élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : La transformée de Laplace unilatérale d’une fonction f est définie par $\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt$, lorsque l’intégrale converge.
• Fonction échelon : La fonction échelon d’amplitude K, notée Ku(t), vaut 0 pour t<0 et K pour t>0 ; elle n’est pas définie en t=0.
• Fonction impulsion : La fonction impulsion δ(t), ou fonction de Dirac, est nulle pour t≠0 et son intégrale sur ℝ vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - La transformée de Laplace de l’échelon unitaire est $\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$.

Compléments

• La notation $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ indique que la transformée dépend de s et non du temps t.

• La transformée de Laplace unilatérale ne tient compte que du comportement de f(t) pour t positif.

📌 Une transformée fonctionnelle est la transformée de Laplace d’une fonction spécifique, tandis qu’une transformée opérationnelle décrit une propriété mathématique, comme le calcul de la dérivée.

• Lorsque la transition de l’échelon entre 0− et 0+ est supposée linéaire, sa valeur à l’origine est Ku(0)=0,5K.

📐 Formule - Si f est continue en a, l’impulsion vérifie $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)f(t)\,dt=f(a)$.

📐 Formule - La transformée de Laplace de l’impulsion à l’origine est $\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1$.

📐 Formule - Au sens des distributions, l’impulsion est la dérivée de la fonction échelon : $\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$.

📐 Formule - La transformée de Laplace d’un exponentiel décroissant est $\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}$.

📖 12. Transformées de Laplace usuelles et opérationnelles

★ À maîtriser

📐 Formule - La transformée de Laplace de $\sin(wt)$ est $\frac{w}{w^2+s^2}$.

📐 Formule - Si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$, alors $\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-)$.

📐 Formule - Si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$, alors $\mathcal{L}\{\int_{0^-}^{t} f(x)\,dx\}=\frac{F(s)}{s}$.

Compléments

📌 La multiplication d’une fonction temporelle par une constante correspond à la multiplication de sa transformée de Laplace par cette même constante.

📌 L’addition ou la soustraction de fonctions dans le domaine temporel correspond à la même addition ou soustraction de leurs transformées dans le domaine de Laplace.

📐 Formule - Pour $a>0$, la transformée de Laplace de $f(t-a)u(t-a)$ est $e^{-as}F(s)$ lorsque $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$.

📐 Formule - La transformée de Laplace de $e^{-at}f(t)$ est $F(s+a)$ lorsque $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$.

📖 13. Analyse des circuits par Laplace

★ À maîtriser

• Pour analyser le circuit RLC décrit, on établit l’équation des courants, on la transforme dans le domaine de Laplace, on isole $V(s)$ puis on applique la transformée inverse pour obtenir $v(t)$.

Compléments

📐 Formule - Pour le circuit RLC présenté, avec énergie initiale nulle, $V(s)=\frac{I/C}{s^2+(1/RC)s+1/(LC)}$.

• L’analyse de circuits linéaires à composants discrets R, L ou C constants conduit à des tensions ou courants dont les transformées sont des fonctions rationnelles de $s$.

💡 Astuce mémo

Équation du circuit → domaine de Laplace → isolement de V(s) → transformée inverse.

📖 14. Fractions partielles et racines

★ À maîtriser

• L’expansion en fractions partielles consiste à factoriser le dénominateur, décomposer la fonction rationnelle en termes simples, puis inverser la transformée de chaque terme.

📌 Une racine qui annule le numérateur est un zéro, tandis qu’une racine qui annule le dénominateur est un pôle.

Compléments

📐 Formule - Pour un pôle simple $p_k$, le coefficient correspondant est $A_k=\lim_{p\to p_k}(p-p_k)F(p)$.

📖 15. Valeurs initiale et finale

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $f(t)$ ne contient pas d’impulsion, alors $\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$.

📐 Formule - Si la partie réelle des pôles de $F(s)$ est négative, alors $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)$.

Compléments

• Les théorèmes des valeurs initiale et finale permettent de vérifier les valeurs aux limites avant de calculer une transformée inverse.

💡 Astuce mémo

Initiale : s → ∞ ; finale : s → 0.