Flashcards : Séries et séries de Fourier (83 cartes)

Toutes les cartes

1Question

Qu’étudie une série associée à une suite ?

Réponse

La suite de ses sommes partielles.

2Question

Quand une série converge-t-elle, et quand diverge-t-elle ?

Réponse

Elle converge si ses sommes partielles ont une limite finie ; sinon, elle diverge.

3Question

Quelle condition nécessaire la convergence d’une série impose-t-elle à son terme général ?

Réponse

Son terme général tend vers zéro.

4Question

À quelle condition une série géométrique de terme $z^k$ converge-t-elle ?

Réponse

Lorsque $|z|<1$ .

5Question

Quelles fréquences une série trigonométrique combine-t-elle ?

Réponse

Une fréquence fondamentale et ses multiples entiers.

6Question

Quelle est la formule de la somme partielle réelle d’ordre $N$ ?

Réponse

$S_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{N}a_k\cos\left(k\frac{2\pi}{T}x\right)+\sum_{k=1}^{N}b_k\sin\left(k\frac{2\pi}{T}x\right)$

7Question

Quelle condition définit une fonction $f$ de période $T>0$ ?

Réponse

$f(x+T)=f(x)$ pour tout $x$ .

8Question

Quelle forme prend la série de Fourier de $f$ sur $]-L,L[$ , prolongée avec période $2L$ ?

Réponse

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)$

9Question

Quelle intégrale définit le coefficient de Fourier $a_n$ ?

Réponse

$a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$

10Question

Quelle intégrale définit le coefficient de Fourier $b_n$ ?

Réponse

$b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$

11Question

Quels coefficients s’annulent pour une fonction réelle paire, $2\pi$ -périodique et continue par morceaux ?

Réponse

Tous les coefficients $b_n$ .

12Question

Quels coefficients s’annulent pour une fonction réelle impaire, $2\pi$ -périodique et continue par morceaux ?

Réponse

Tous les coefficients $a_n$ .

13Question

Comment calcule-t-on la valeur moyenne de $f$ sur une période ?

Réponse

$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$

14Question

En théorie du signal, comment appelle-t-on la valeur moyenne égale à $\frac{a_0}{2}$ ?

Réponse

La composante continue, ou valeur DC.

15Question

Vers quelle valeur converge la série de Fourier d’une fonction satisfaisant les hypothèses de régularité, en un point de continuité ?

Réponse

Vers $f(x)$ .

16Question

Vers quelle valeur converge la série de Fourier d’une fonction satisfaisant les hypothèses de régularité, en un point de discontinuité ?

Réponse

Vers $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ .

17Question

Où la série de Fourier d’une fonction périodique bornée aux discontinuités et extrema locaux finis converge-t-elle vers $f$ ?

Réponse

Aux points de continuité.

18Question

Quelle formule donne les coefficients de la série de Fourier complexe de $f(x)$ ?

Réponse

$c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-jn\pi x/L}\,dx$

19Question

Quelles fréquences composent le spectre de raies d’un signal périodique de période $T$ ?

Réponse

Les multiples de la fréquence fondamentale $\frac{1}{T}$ .

20Question

Quelles conditions permettent d’appliquer le théorème de Fourier intégral à $f$ ?

Réponse

$f$ et $f'$ sont continues par morceaux sur tout intervalle fini, et $f$ est absolument intégrable sur $\mathbb{R}$ .

21Question

Comment s’écrit la reconstruction de $f(x)$ avec les coefficients $A$ et $B$ ?

Réponse

$f(x)=\int_0^{\infty}\left(A(\alpha)\cos(\alpha x)+B(\alpha)\sin(\alpha x)\right)\,d\alpha.$

22Question

Quelle est la formule de la transformée de Fourier de $f$ ?

Réponse

$F(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\alpha u}\,du$

23Question

Comment s’écrit l’intégrabilité absolue de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Réponse

$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx<\infty$

24Question

Quelle est la transformée de Fourier en sinus d’une fonction impaire $f$ ?

Réponse

$F_S(\alpha)=\int_0^{\infty} f(u)\sin(\alpha u)\,du$

25Question

Quelle est la transformée inverse en cosinus d’une fonction paire $f$ ?

Réponse

$f(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}F_C(\alpha)\cos(\alpha x)\,d\alpha$

26Question

Quelle est la propriété de linéarité de la transformée de Fourier ?

Réponse

$\mathcal{F}\{\lambda f+\mu g\}(\alpha)=\lambda F(\alpha)+\mu G(\alpha)$

27Question

Comment définir le produit de convolution de deux fonctions réelles ?

Réponse

$(f∗g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)\,dt$

28Question

Que devient la convolution par transformée de Fourier ?

Réponse

Elle devient le produit $F(\alpha)G(\alpha)$ .

29Question

Quelle intégrale définit la transformée de Laplace unilatérale de $f(t)$ ?

Réponse

$\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$ , lorsque l’intégrale converge.

30Question

Quelles sont les valeurs de la fonction échelon $Ku(t)$ avant et après l’origine ?

Réponse

Elle vaut $0$ pour $t<0$ et $K$ pour $t>0$ .

31Question

Quelle est la transformée de Laplace de $\sin(wt)$ ?

Réponse

$\frac{w}{w^2+s^2}$

32Question

Si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ , quelle est la transformée de Laplace de $f'(t)$ ?

Réponse

$sF(s)-f(0^-)$

33Question

Si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ , quelle est la transformée de $\int_{0^-}^{t} f(x)\,dx$ ?

Réponse

$\frac{F(s)}{s}$

34Question

Quelle est la première étape pour analyser le circuit RLC décrit ?

Réponse

Établir l’équation des courants.

35Question

Après transformation de l’équation des courants du circuit RLC, quelle fonction isole-t-on ?

Réponse

$V(s)$

36Question

Après avoir isolé $V(s)$ , quelle opération donne $v(t)$ ?

Réponse

Appliquer la transformée inverse de Laplace.

37Question

Quelles sont les étapes de l’expansion en fractions partielles ?

Réponse

Factoriser le dénominateur, décomposer la fonction rationnelle en termes simples, puis inverser la transformée de chaque terme.

38Question

Comment appelle-t-on une racine qui annule le numérateur ?

Réponse

Un zéro.

39Question

Comment appelle-t-on une racine qui annule le dénominateur ?

Réponse

Un pôle.

40Question

Quelle formule donne la valeur initiale de $f(t)$ sans impulsion à partir de $F(s)$ ?

Réponse

$\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$ .

41Question

Quelle formule donne la valeur finale de $f(t)$ si les pôles de $F(s)$ ont une partie réelle négative ?

Réponse

$\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)$ .

42Question

Quelle formule donne la somme partielle d’une série géométrique de raison $z\ne 1$ ?

Réponse

$S_N=\frac{1-z^{N+1}}{1-z}$

43Question

Les séries géométriques de raisons $\frac13$ et $\frac{1}{1+i}$ ont-elles la même nature ?

Réponse

Elles convergent toutes les deux.

44Question

À quelle condition une série de Riemann à exposant complexe converge-t-elle ?

Réponse

Lorsque la partie réelle de l’exposant est supérieure à 1.

45Question

Quelle est la formule de la somme partielle complexe d’ordre $N$ ?

Réponse

$S_N(x)=\sum_{k=-N}^{N}c_k\exp\left(ik\frac{2\pi}{T}x\right)$

46Question

Quelle identité relie l’exponentielle complexe au sinus et au cosinus ?

Réponse

$\exp(iz)=\cos(z)+i\sin(z)$

47Question

Que vaut l’intégrale du produit de deux fonctions distinctes de la famille trigonométrique sur un intervalle de longueur $2\pi$ ?

Réponse

Elle est nulle.

48Question

Quelles sont les moindres périodes de $\sin(x)$ , $\sin(nx)$ et $\tan(x)$ ?

Réponse

Elles valent respectivement $2\pi$ , $\frac{2\pi}{n}$ et $\pi$ .

49Question

Quand une fonction sur $[a,b]$ est-elle continue par morceaux ?

Réponse

Lorsqu’elle est continue sur $[a,b]$ sauf en un nombre fini de points.

50Question

Quel phénomène Joseph Fourier a-t-il étudié par décomposition en série trigonométrique convergente ?

Réponse

La diffusion de la chaleur.

51Question

Pour une fonction de période $2L$ , quelle est la fréquence de $f$ ?

Réponse

$\frac{1}{2L}$

52Question

Pour une fonction de période $2L$ , à quoi correspondent les fréquences des fonctions trigonométriques de Fourier ?

Réponse

À des multiples entiers de la fréquence de $f$ .

53Question

Quelle formule calcule $a_n$ lorsque $L=\pi$ ?

Réponse

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$

54Question

Que signifie la convergence ponctuelle de $\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)$ vers $f$ sur $S$ ?

Réponse

Pour tout $x\in S$ , $\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}f_n(x)-f(x)\right)=0$ .

55Question

Quel mathématicien a fourni un contre-exemple de série de Fourier divergente pour une fonction continue sur $\mathbb{R}$ ?

Réponse

Du Bois-Reymond.

56Question

Quelles expressions d’Euler donnent le cosinus et le sinus à partir des exponentielles complexes ?

Réponse

$\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}$

57Question

Comment exprimer $c_n$ et $c_{-n}$ avec $a_n$ et $b_n$ pour $n>0$ ?

Réponse

$c_n=\frac{a_n-jb_n}{2}$ et $c_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2}$

58Question

Quelle est la valeur de $c_0$ dans la série de Fourier complexe ?

Réponse

$c_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$

59Question

Comment le sinus cardinal $\operatorname{Sinc}(\pi x)$ est-il défini ?

Réponse

$\operatorname{Sinc}(\pi x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$

60Question

Quelle formule donne les coefficients de Fourier de la porte périodisée ?

Réponse

$F(n)=\frac{\sin(n\pi/2)}{n\pi}=\frac{1}{2}\operatorname{Sinc}\left(\frac{\pi n}{2}\right).$

61Question

Quelle valeur l’intégrale de Fourier attribue-t-elle à une discontinuité de $f$ ?

Réponse

$\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.$

62Question

Quelle est la forme complexe du développement intégral de Fourier de $f(x)$ ?

Réponse

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\alpha x}\,d\alpha\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\alpha u}\,du.$

63Question

Quel théorème affirme que les intégrales oscillantes de $F$ tendent vers zéro ?

Réponse

Le théorème de Riemann-Lebesgue.

64Question

Quel nom prend $\alpha$ lorsque $x$ représente une longueur ?

Réponse

Le nombre d’onde $k$ .

65Question

Quelle convention de transformée de Fourier s’applique à une fonction temporelle ?

Réponse

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jt\omega}\,dt$

66Question

Quelle condition sur $f$ et $f'$ suffit pour que l’inversion redonne $f$ ?

Réponse

Elles doivent être continues par morceaux sur tout intervalle fini.

67Question

Quelle est la transformée de Fourier de la porte définie sur $|x|<a$ ?

Réponse

$F(\omega)=\frac{2\sin(\omega a)}{\omega}$

68Question

Quelle transformée de Fourier correspond à la gaussienne $f(x)=e^{-\alpha x^2}$ ?

Réponse

$F(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\xi^2/(4\alpha)}$

69Question

À quelle forme le théorème de Fourier intégral se réduit-il pour une fonction impaire ?

Réponse

À sa forme en sinus.

70Question

Comment s’exprime la sortie d’un système linéaire invariant dans le temps ?

Réponse

Comme la convolution du signal d’entrée avec une fonction dépendant du système.

71Question

De quelle variable dépend $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ ?

Réponse

De $s$ .

72Question

Pour quelles valeurs de $t$ la transformée de Laplace unilatérale considère-t-elle $f(t)$ ?

Réponse

Pour $t>0$ .

73Question

Qu’est-ce qu’une transformée fonctionnelle ?

Réponse

La transformée de Laplace d’une fonction spécifique.

74Question

Quelle valeur attribue-t-on à l’échelon à l’origine lors d’une transition linéaire ?

Réponse

$Ku(0)=0{,}5K$ .

75Question

Que devient la transformée de Laplace lorsqu’on multiplie la fonction temporelle par une constante ?

Réponse

Elle est multipliée par la même constante.

76Question

Comment l’addition de fonctions temporelles se traduit-elle dans le domaine de Laplace ?

Réponse

Par l’addition de leurs transformées.

77Question

Pour $a>0$ , quelle est la transformée de $f(t-a)u(t-a)$ si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ ?

Réponse

$e^{-as}F(s)$

78Question

Quelle expression donne $V(s)$ pour le circuit RLC présenté, avec énergie initiale nulle ?

Réponse

$V(s)=\frac{I/C}{s^2+(1/RC)s+1/(LC)}$

79Question

Quelle forme ont les transformées des tensions ou courants de circuits linéaires à composants discrets constants ?

Réponse

Des fonctions rationnelles de $s$ .

80Question

Quelle formule donne le coefficient d’un pôle simple $p_k$ ?

Réponse

$A_k=\lim_{p\to p_k}(p-p_k)F(p)$

81Question

À quoi servent les théorèmes des valeurs initiale et finale avant le calcul d’une transformée inverse ?

Réponse

À vérifier les valeurs aux limites.

82Question

Comment calcule-t-on le spectre d’amplitude de $F(\alpha)=F_r(\alpha)+jF_i(\alpha)$ ?

Réponse

$|F(\alpha)|=\sqrt{F_r(\alpha)^2+F_i(\alpha)^2}$

83Question

Quelle valeur donne l’intégrale de $\delta(t-a)f(t)$ sur $\mathbb{R}$ si $f$ est continue en $a$ ?

Réponse

$f(a)$

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 41 questions sur Séries et séries de Fourier.

1. Pour étudier la série associée à une suite $(u_n)$ , quelle suite examine-t-on ?

2. Pour une série, les sommes partielles se rapprochent de $5$ lorsque $N$ augmente. Quelle conclusion peut-on en tirer si elles tendent effectivement vers cette valeur finie ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Séries et séries de Fourier.

Voir la fiche →

Crée tes propres flashcards

Importe ton cours et l'IA génère des flashcards en 30 secondes.

Générateur de flashcards

Flashcards : Séries et séries de Fourier (83 cartes)

Toutes les cartes

Teste-toi avec le QCM

Consultez la fiche

Cours similaires

Génétique et évolution clonale

Psychologie des émotions

Identification et régulation des émotions

Énergie et transformations

Variations et définition des espèces

Racines des nombres complexes

Crée tes propres flashcards