QCM : Racines d’un polynôme du second degré — 9 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

f(x)=\frac{3}{x^2}-2x+5

f(x)=3x^2-2x+5

f(x)=3x^3-2x+5

f(x)=3x-2+5

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ , ce qui correspond à la première expression. L’expression cubique est de degré trois, tandis que celle comportant une division par $x^2$ n’est pas un polynôme.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+5$$

Question 2

2. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction dont le discriminant est toujours négatif.

Une fonction qui ne possède qu'une seule racine réelle.

Une fonction dont le degré est supérieur à deux.

Une fonction définie sur \\mathbb{R} avec une expression de la forme f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, c sont des réels et a ≠ 0.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est définie par une expression de la forme f(x) = ax^2 + bx + c avec a, b, c réels et a différent de zéro. La réponse incorrecte évoque une propriété qui ne définit pas la fonction elle-même, mais ses racines.

Answer

Une fonction définie sur \\mathbb{R} avec une expression de la forme f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, c sont des réels et a ≠ 0.

Question 3

3. Que signifie qu’un réel $x_0$ est une racine d’une fonction $f$ ?

Il vérifie

f(0)=x_0

Il représente la valeur de

f(x_0)

Il correspond au coefficient du terme constant

Il vérifie

f(x_0)=0

Explication

Un réel $x_0$ est une racine lorsque son image est nulle, c’est-à-dire lorsque $f(x_0)=0$ . La relation $f(x)=0$ désigne l’équation à résoudre, tandis que la racine est une valeur de $x$ qui la vérifie.

Answer

Il vérifie $$f(x_0)=0$$

Question 4

4. Quel est le critère principal pour qu’un polynôme du second degré ait deux racines réelles distinctes ?

La somme des racines est nulle

Le coefficient a est positif

Le discriminant

\Delta

> 0

Le produit des racines est égal à c

Explication

Le discriminant $\Delta = b^2$ - 4ac > 0 indique que le polynôme possède deux racines réelles distinctes. La valeur de a ou la somme ou le produit ne déterminent pas directement le nombre de racines réelles.

Answer

Le discriminant $$\\Delta$$ > 0

Question 5

5. Une fonction s’écrit $f(x)=a(x-2)(x+5)$ avec $a\neq0$ ; quelle forme développée est compatible avec ses deux racines ?

f(x)=a(x-2)(x+5)

f(x)=a(x-2)(x-5)

f(x)=a(x+2)(x+5)

f(x)=a(x+2)(x-5)

Explication

Les racines $2$ et $-5$ donnent les facteurs $x-2$ et $x-(-5)=x+5$ , donc la forme factorisée est celle indiquée. Les autres expressions correspondent à d’autres couples de racines.

Answer

$$f(x)=a(x-2)(x+5)$$

Question 6

6. Quel est le rôle principal du discriminant dans l'étude d'un polynôme du second degré ?

Déterminer le nombre de racines réelles du polynôme.

Identifier le coefficient du terme en x.

Calculer la somme des racines.

Trouver la forme factorisée du polynôme.

Explication

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ permet de connaître le nombre de racines réelles du polynôme en fonction de sa valeur. Si $\Delta > 0$ , il y a deux racines distinctes, si $\Delta = 0$ , une racine double, et si $\Delta < 0$ , aucune racine réelle.

Answer

Déterminer le nombre de racines réelles du polynôme.

Question 7

7. Combien de racines réelles une fonction polynôme du second degré peut-elle admettre au maximum ?

Trois

Deux

Une

Une infinité

Explication

Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines réelles. Elle peut en avoir deux, une racine double ou aucune, mais trois racines distinctes ne sont pas possibles pour ce degré.

Answer

La méthode par identification ne nécessite pas de calcul du discriminant, alors que la méthode du discriminant repose sur le calcul de $$\\Delta$$ pour déterminer le nombre de racines.

Answer

Le polynôme ne possède aucune racine réelle et ne peut pas être factorisé en produit de facteurs du premier degré.

Question 8

8. En quoi la méthode par identification diffère-t-elle de la méthode du discriminant pour résoudre un polynôme du second degré ?

Les deux méthodes sont identiques, mais la méthode du discriminant est plus rapide et plus précise.

La méthode par identification utilise la formule de la somme et du produit des racines, alors que la méthode du discriminant ne s'appuie pas sur ces relations.

La méthode par identification ne nécessite pas de calcul du discriminant, alors que la méthode du discriminant repose sur le calcul de

\Delta

pour déterminer le nombre de racines.

La méthode par identification consiste à vérifier une racine connue avant de déterminer l'autre, tandis que la méthode du discriminant se base uniquement sur le signe de

\Delta

pour conclure.

Explication

La méthode par identification vérifie si une racine est connue avant de trouver l'autre en utilisant la somme ou le produit, alors que la méthode du discriminant se concentre sur le signe de $\Delta$ pour déterminer le nombre de racines et leur nature.

Question 9

9. Quelle est la conséquence d’un discriminant $\triangle$ négatif pour un polynôme du second degré ?

Le polynôme possède une racine double.

Le polynôme ne possède aucune racine réelle et ne peut pas être factorisé en produit de facteurs du premier degré.

Le polynôme possède deux racines réelles distinctes.

Le polynôme possède une racine réelle unique et se factorise sous la forme

a(x - x_0)^2

.

Explication

Un discriminant $\triangle < 0$ indique que le polynôme n’a pas de racines réelles et ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré. La présence de racines complexes n’est pas abordée dans ce contexte réel.

QCM : Racines d’un polynôme du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

2. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

3. Que signifie qu’un réel $x_0$ est une racine d’une fonction $f$ ?

4. Quel est le critère principal pour qu’un polynôme du second degré ait deux racines réelles distinctes ?

5. Une fonction s’écrit $f(x)=a(x-2)(x+5)$ avec $a\neq0$ ; quelle forme développée est compatible avec ses deux racines ?

6. Quel est le rôle principal du discriminant dans l'étude d'un polynôme du second degré ?

7. Combien de racines réelles une fonction polynôme du second degré peut-elle admettre au maximum ?

8. En quoi la méthode par identification diffère-t-elle de la méthode du discriminant pour résoudre un polynôme du second degré ?

9. Quelle est la conséquence d’un discriminant $\triangle$ négatif pour un polynôme du second degré ?

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QCM : Racines d’un polynôme du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

2. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

3. Que signifie qu’un réel x0x_0x0​ est une racine d’une fonction fff ?

4. Quel est le critère principal pour qu’un polynôme du second degré ait deux racines réelles distinctes ?

5. Une fonction s’écrit f(x)=a(x−2)(x+5)f(x)=a(x-2)(x+5)f(x)=a(x−2)(x+5) avec a≠0a\neq0a=0 ; quelle forme développée est compatible avec ses deux racines ?

6. Quel est le rôle principal du discriminant dans l'étude d'un polynôme du second degré ?

7. Combien de racines réelles une fonction polynôme du second degré peut-elle admettre au maximum ?

8. En quoi la méthode par identification diffère-t-elle de la méthode du discriminant pour résoudre un polynôme du second degré ?

9. Quelle est la conséquence d’un discriminant △\triangle△ négatif pour un polynôme du second degré ?

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3. Que signifie qu’un réel $x_0$ est une racine d’une fonction $f$ ?

5. Une fonction s’écrit $f(x)=a(x-2)(x+5)$ avec $a\neq0$ ; quelle forme développée est compatible avec ses deux racines ?

9. Quelle est la conséquence d’un discriminant $\triangle$ négatif pour un polynôme du second degré ?