Racines d’un polynôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définitions et coefficients
2. Racines et forme factorisée
3. Discriminant et nombre de racines
4. Méthodes de résolution
5. Contrôles et erreurs fréquentes

📖 1. Définitions et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ telle qu’il existe trois réels a, b et c, avec a ≠ 0, vérifiant f(x) = ax² + bx + c pour tout réel x.
• Racine : Réel x₀ tel que f(x₀) = 0 ; les racines de f sont les solutions de l’équation f(x) = 0.

📖 2. Racines et forme factorisée

📝 Points essentiels

📌 Si f(x) = ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂, alors f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) pour tout réel x.

• Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines.

📐 Formule — Si f(x) = ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂, alors $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$ et $x₁x₂=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Forme développée : coefficients ; forme factorisée : racines.

📖 3. Discriminant et nombre de racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Réel $\Delta=b²-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si Δ > 0, le polynôme possède deux racines distinctes $x₁=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x₂=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et se factorise sous la forme a(x − x₁)(x − x₂).