Fiche de révision : Racines d’un polynôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définitions et coefficients
2. Racines et forme factorisée
3. Discriminant et nombre de racines
4. Méthodes de résolution
5. Contrôles et erreurs fréquentes

📖 1. Définitions et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ telle qu’il existe trois réels a, b et c, avec a ≠ 0, vérifiant f(x) = ax² + bx + c pour tout réel x.
• Racine : Réel x₀ tel que f(x₀) = 0 ; les racines de f sont les solutions de l’équation f(x) = 0.

📖 2. Racines et forme factorisée

📝 Points essentiels

📌 Si f(x) = ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂, alors f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) pour tout réel x.

• Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines.

📐 Formule — Si f(x) = ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂, alors $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$ et $x₁x₂=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Forme développée : coefficients ; forme factorisée : racines.

📖 3. Discriminant et nombre de racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Réel $\Delta=b²-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si Δ > 0, le polynôme possède deux racines distinctes $x₁=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x₂=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et se factorise sous la forme a(x − x₁)(x − x₂).

• Si Δ = 0, le polynôme possède une racine unique $x₀=-\frac{b}{2a}$ et se factorise sous la forme a(x − x₀)².

• Si Δ < 0, le polynôme ne possède aucune racine réelle et ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

💡 Astuce mémo

Signe de Δ → nombre de racines réelles.

📖 4. Méthodes de résolution

📝 Points essentiels

• 🔄 La méthode par identification suit ces étapes:

  1. Vérifier que x₁ est une racine
  2. Écrire f(x) = a(x − x₁)(x − m)
  3. Développer et identifier le terme constant
  4. Contrôler le coefficient de x

• Pour trouver une seconde racine avec la somme ou le produit, il faut vérifier que x₁ est une racine, utiliser $x₁x₂=\frac{c}{a}$ si x₁ ≠ 0 ou $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$, isoler x₂ puis contrôler avec l’autre relation.

• 🔄 La méthode du discriminant suit ces étapes:

  1. Identifier a, b et c avec leurs signes
  2. Calculer Δ
  3. Conclure selon le signe de Δ
  4. Écrire la forme factorisée si elle existe

💡 Astuce mémo

Racine connue → identification ou somme-produit ; sinon → discriminant.

📖 5. Contrôles et erreurs fréquentes

📝 Points essentiels

📌 Tout résultat doit être vérifié avec la somme, le produit ou le calcul de f(x₁).

• Pour calculer Δ correctement, il faut conserver les signes : si c < 0, −4ac devient positif, et si b < 0, b² reste positif, par exemple (−5)² = 25.

📊 Tableaux de synthèse

Racines selon le discriminant