Fiche de révision : Rappels de calcul numérique et algébrique

📋 Plan du Cours

1. Développer et réduire une expression
2. Conversions d’unités et durées
3. Ordres de grandeur et vraisemblance
4. Écritures fractionnaire décimale et pourcentage
5. Opérations et comparaison des fractions
6. Puissances et règles de calcul

📖 1. Développer et réduire une expression

★ À maîtriser

📌 Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme : $-(a+b)=-a-b$ et $-(a-b)=-a+b$.

Compléments

• Une fraction de fraction se divise en multipliant la première fraction par l’inverse de la seconde : $\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$.

• La réduction de $2-(x+3)$ donne $-x-1$.

💡 Astuce mémo

Le signe − devant une parenthèse change les signes ; le signe + les conserve.

📖 2. Conversions d’unités et durées

★ À maîtriser

• Les tableaux de conversion des longueurs et des masses suivent les unités km, hm, dam, m, dm, cm, mm et kg, hg, dag, g, dg, cg, mg.

• Un litre correspond à un décimètre cube : $1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{dm}^3$.

• Un mètre cube correspond à 1000 litres.

• Pour convertir une vitesse de m/s en km/h, on divise par 1000 pour convertir les mètres en kilomètres et on multiplie par 3600 pour convertir les secondes au dénominateur en heures.

Compléments

• Les unités d’aire sont :

  • km²
  • hm²
  • dam²
  • m²
  • dm²
  • cm²
  • mm²

• Une heure contient 60 minutes et une minute contient 60 secondes, donc une heure contient 3600 secondes.

📖 3. Ordres de grandeur et vraisemblance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de grandeur : S’obtient en remplaçant un nombre par un entier proche ou par une puissance de 10.

★ À maîtriser

📌 Après un calcul, il faut vérifier que le résultat est cohérent et vraisemblable.

Compléments

• Pour estimer $101\times99$, on remplace 101 et 99 par 100, ce qui donne un ordre de grandeur de 10 000.

• La distance Terre-Lune de 384 000 km a pour ordre de grandeur en mètres $10^8$, car 384 000 km correspondent à 384 000 000 m, soit $3{,}84\times10^8$ m.

💡 Astuce mémo

Remplacer par des valeurs proches → estimer le résultat et vérifier sa cohérence.

📖 4. Écritures fractionnaire décimale et pourcentage

★ À maîtriser

📌 Un même nombre peut s’écrire sous forme fractionnaire, décimale ou en pourcentage, par exemple $\frac14=0{,}25=25\%$.

📌 Pour passer d’une écriture décimale à un pourcentage, on décale la virgule de deux rangs vers la droite, par exemple $0{,}42=42\%$.

Compléments

• Les équivalences fractionnaires usuelles sont $\frac12=0{,}5$, $\frac14=0{,}25$, $\frac15=0{,}2$ et $\frac1{10}=0{,}1$.

• Pour convertir une fraction en pourcentage, on passe d’abord par son écriture décimale.

💡 Astuce mémo

Fraction → décimal → pourcentage.

📖 5. Opérations et comparaison des fractions

★ À maîtriser

• Pour mettre des fractions au même dénominateur, on cherche un multiple commun des dénominateurs, puis on multiplie chaque numérateur et son dénominateur par le même facteur.

📌 Pour comparer des fractions de même dénominateur, la fraction au plus petit numérateur est la plus petite.

• Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs en conservant ce dénominateur.

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

📌 Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Compléments

📌 Une fraction reste égale lorsqu’on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même entier non nul.

📖 6. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un entier $n\geq2$, la puissance $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Pour $a\neq0$, une puissance d’exposant négatif vérifie $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

📌 Par convention, $a^1=a$ et, pour $a\neq0$, $a^0=1$.

📐 Formule - Pour une même base, $a^n\times a^p=a^{n+p}$ et $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule - Une puissance de puissance vérifie $(a^n)^p=a^{n\times p}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des bases a et b, $a^n b^n=(ab)^n$ et $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.