Fiche de révision : Rappels de mathématiques L1

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et logique
2. Calcul mental et divisibilité
3. Fractions et nombres premiers
4. Radicaux et puissances
5. Démontrer une égalité
6. Définition des fonctions
7. Symétries et variations
8. Composition et fonctions réciproques
9. Vecteurs et géométrie plane
10. Droites et équations
11. Fonctions affines et évolutions
12. Systèmes et second degré
13. Dérivation et tangentes

📖 1. Intervalles et logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : L’ensemble des nombres réels, noté R, contient tous les nombres utilisés dans ce cours.
• Intervalle de R : Un sous-ensemble I de R est un intervalle si, pour tous a et b appartenant à I et tout réel x vérifiant a≤x≤b, x appartient aussi à I.
• Quantificateurs : Le quantificateur ∃ signifie « il existe au moins un », ∃! signifie « il existe un unique », et ∀ signifie « pour tout ».

★ À maîtriser

📌 L’intervalle fermé [a;b] contient ses deux bornes, l’intervalle ouvert ]a;b[ ne contient aucune borne, et les intervalles semi-ouverts n’en contiennent qu’une.

Compléments

• Les notations usuelles sont:
  • R*=R{0}
  • R−=]−∞;0]
  • R−*=]−∞;0[
  • R+=[0;+∞[
  • R+*=]0;+∞[

💡 Astuce mémo

Ouvert exclut les bornes, fermé les inclut

📖 2. Calcul mental et divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

📌 Un entier est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, et il est divisible par 11 si sa somme alternée de chiffres est divisible par 11.

• Les valeurs approchées à connaître sont:
  • √2≈1,4
  • √3≈1,7
  • √5≈2,2
  • ln 2≈0,7
  • ln 3≈1,1
  • ln 5≈1,6

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-11 : unités, somme, dizaines, alternance

📖 3. Fractions et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier supérieur ou égal à 2 est premier s’il est divisible uniquement par 1 et par lui-même.
• Fraction : Le résultat de la division du numérateur a par le dénominateur non nul b.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour a,b,c,d réels avec b≠0 et d≠0, l’addition des fractions vérifie $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

📐 Formule — Pour a,b,c,d réels avec b≠0 et d≠0, la division des fractions vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$ lorsque c≠0.

📖 4. Radicaux et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour a≥0, √a est l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut a.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel a, √(a²)=|a|, donc √(a²)=a si a≥0 et √(a²)=−a si a≤0.

📐 Formule — Pour des bases non nulles, les puissances vérifient $a^n a^m=a^{n+m}$ et $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

Compléments

📌 Pour a≥0 et b>0, on a √a×√b=√(ab) et √a/√b=√(a/b).

💡 Astuce mémo

√(a²)=|a|, tandis que (√a)²=a pour a≥0

📖 5. Démontrer une égalité

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour démontrer une égalité, on peut:
  1. Transformer A jusqu’à obtenir B
  2. Transformer séparément A et B jusqu’à un même nombre C
  3. Montrer que A−B=0

📌 Avant de démontrer l’égalité de deux expressions dépendant de x, il faut vérifier qu’elles sont définies sur le même ensemble ou préciser les restrictions nécessaires.

💡 Astuce mémo

Transformer A, transformer B, puis comparer A−B

📖 6. Définition des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction définie sur E associe à tout réel x de E au plus un réel y=f(x).
• Ensemble de définition : L’ensemble des éléments pour lesquels la fonction possède une image.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction quotient A(x)/B(x) est définie lorsque A et B sont définies et B(x)≠0.

📌 Une fonction √A(x) est définie lorsque A est définie et A(x)≥0, tandis que A(x)/√B(x) exige B(x)>0.

📖 7. Symétries et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction définie sur un domaine centré en zéro est paire si f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction définie sur un domaine centré en zéro est impaire si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.

📝 Points essentiels

📌 La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

📌 Si f est dérivable sur I et f′(x)≥0 sur I, alors f est croissante sur I ; si f′(x)≤0, elle est décroissante, et si f′(x)=0, elle est constante.

💡 Astuce mémo

Paire : axe des ordonnées ; impaire : symétrie centrale

📖 8. Composition et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : Si f(Df)⊂Dg, la composée g∘f est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Racine q-ième : Pour q entier naturel non nul et b≥0, la racine q-ième de b est l’unique réel positif a tel que a^q=b.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour a>0 et p entier relatif, q entier naturel non nul, la puissance rationnelle vérifie $a^{p/q}=(a^p)^{1/q}=(a^{1/q})^p$.

💡 Astuce mémo

Appliquer f, puis g : g∘f

📖 9. Vecteurs et géométrie plane

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Dans R², un vecteur est caractérisé par un couple (a,b) de réels appelés ses composantes.

📝 Points essentiels

• Pour A(xA,yA) et B(xB,yB), le vecteur AB a pour composantes $(x_B-x_A,y_B-y_A)$.

• La somme de (x,y) et (x′,y′) vaut (x+x′,y+y′), et le produit de (x,y) par k vaut (kx,ky).

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, la norme de (x,y) vaut $\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}$ et la distance AB vaut $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

📖 10. Droites et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est nul ou si l’un est un multiple réel de l’autre.

📝 Points essentiels

• Les vecteurs (x,y) et (x′,y′) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant $xy'-x'y$ est nul.

• Le produit scalaire de (x,y) et (x′,y′) vaut $xx'+yy'$, et les deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ce produit est nul.

📐 Formule — Une droite de vecteur directeur (α,β) passant par A(xA,yA) a la représentation paramétrique $x=x_A+t\alpha,\ y=y_A+t\beta$ avec t∈R.

• Toute droite possède une équation cartésienne ax+by+c=0, où (a,b) est un vecteur normal et (−b,a) un vecteur directeur.

💡 Astuce mémo

Vecteur directeur : colinéarité ; vecteur normal : orthogonalité

📖 11. Fonctions affines et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur R par f(x)=mx+p, avec m et p réels.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution d’une variable passant de y0 à y1 est $t=\frac{y_1-y_0}{y_0}$, tandis que son coefficient multiplicateur est $c=\frac{y_1}{y_0}=1+t$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction affine déterminée par f(x1)=y1 et f(x2)=y2, avec x1≠x2, a pour coefficient directeur $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

📌 Lors d’évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient et les taux d’évolution ne s’additionnent pas.

💡 Astuce mémo

Évolutions successives → multiplication des coefficients

📖 12. Systèmes et second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Système 2×2 : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est formé de deux équations ax+by=c et a′x+b′y=c′, avec des coefficients non simultanément nuls dans chaque équation.
• Polynôme du second degré : Une fonction f(x)=ax²+bx+c définie sur R avec a≠0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le déterminant du système vaut $D=ab'-a'b$ ; si D≠0, le système possède une solution unique, tandis que si D=0 il possède soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

📐 Formule — Pour ax²+bx+c=0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ ; si Δ>0 il y a deux racines, si Δ=0 une racine, et si Δ<0 aucune racine réelle.

📌 La parabole d’une fonction du second degré a pour axe x=−b/(2a), sommet S(−b/(2a),−Δ/(4a)), et elle possède un minimum si a>0 ou un maximum si a<0.

💡 Astuce mémo

Δ>0 deux racines, Δ=0 une racine, Δ<0 aucune

📖 13. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en x0 si le quotient (f(x)−f(x0))/(x−x0) admet une limite réelle lorsque x tend vers x0 ; cette limite est f′(x0).

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque f est dérivable en x0, l’équation de la tangente à sa courbe est $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables f et g, la dérivée du produit est $(fg)'=f'g+fg'$ et celle du quotient est $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque g≠0.

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'(f(x))$.

Compléments

• Les dérivées usuelles sont:
  • (ax+b)'=a
  • (x^n)'=nx^{n−1}
  • (√x)'=1/(2√x)
  • (ln x)'=1/x
  • (e^x)'=e^x

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → limite → nombre dérivé → tangente

📊 Tableaux de synthèse

Symétries des fonctions

Discriminant du second degré