Fiche de révision : Séries réelles et critères de convergence

📋 Plan du Cours

1. Définitions et convergence des séries
2. Calculs de sommes partielles
3. Propriétés générales des séries
4. Séries à termes positifs
5. Comparaison et équivalents
6. Séries géométriques
7. Séries géométriques dérivées
8. Séries exponentielles et de Riemann

📖 1. Définitions et convergence des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de terme général : la suite des sommes partielles $S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k$ pour n≥n_0.
• Convergence d’une série : Une série converge lorsque la suite de ses sommes partielles converge vers une limite finie, appelée somme de la série.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En cas de convergence, la somme de la série vérifie $\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=n_0}^{n}u_k.$

💡 Astuce mémo

termes → sommes partielles → limite

📖 2. Calculs de sommes partielles

📝 Points essentiels

• Pour calculer une série télescopique, on réécrit son terme comme une différence, on développe la somme partielle, on annule les termes intermédiaires, puis on calcule la limite des termes restants.

• Pour tout n≥1, $\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(n+1)$, donc la série diverge vers +∞.

💡 Astuce mémo

Les termes centraux s’annulent comme des dominos dans une somme télescopique

📖 3. Propriétés générales des séries

📝 Points essentiels

• Modifier un nombre fini de premiers termes d’une série ne change pas sa nature ; en cas de convergence, la somme est modifiée de la somme finie correspondante.

• Si deux séries convergent, toute combinaison linéaire $\sum(\lambda u_n+\mu v_n)$ converge et sa somme vaut $\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n$.

• Si une série converge, son terme général tend vers zéro ; la réciproque est fausse, car $\sum_{k\ge1}1/k$ diverge alors que $1/k\to0$.

• La série harmonique $\sum_{k\ge1}\frac{1}{k}$ diverge vers +∞.

💡 Astuce mémo

Terme général nul nécessaire, mais pas suffisant

📖 4. Séries à termes positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Série à termes positifs : vérifie u_n≥0 pour tout n à partir du rang initial.

📝 Points essentiels

📌 Pour une série à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante.

📌 Une série à termes positifs converge si et seulement si sa suite de sommes partielles est majorée.

💡 Astuce mémo

Termes positifs → sommes partielles croissantes → majoration suffisante

📖 5. Comparaison et équivalents

★ À maîtriser

📌 Si 0≤u_n≤v_n à partir d’un certain rang et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

📌 Si u_n et v_n sont positifs à partir d’un certain rang et $u_n\sim v_n$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

• La série $\sum_{k\ge1}1/k^2$ converge car, pour k≥2, $0\le1/k^2\le1/[k(k-1)]$ et la série de droite converge.

Compléments

• Comme $\ln(1+1/n)\sim1/n$ et que la série harmonique diverge, la série $\sum\ln(1+1/n)$ diverge.

💡 Astuce mémo

équivalent positif → comparaison → même nature

📖 6. Séries géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série géométrique : une série de la forme $\sum_{n\ge0}q^n$ avec q réel.

★ À maîtriser

📌 La série géométrique $\sum_{n\ge0}q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et dans ce cas sa somme vaut $\frac{1}{1-q}$.

Compléments

📐 Formule — La somme partielle géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour q≠1.

💡 Astuce mémo

|q|<1 converge, |q|≥1 diverge

📖 7. Séries géométriques dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Série géométrique dérivée d’ordre 1 : une série de la forme $\sum_{n\ge1}nq^{n-1}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $|q|<1$, alors $\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$.

💡 Astuce mémo

ordre 0 : qⁿ, ordre 1 : nqⁿ⁻¹, ordre 2 : n(n−1)qⁿ⁻²

📖 8. Séries exponentielles et de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Série exponentielle : une série de la forme $\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{n!}$ avec x réel.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, la série exponentielle converge et sa somme vaut $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$.

📌 La série de Riemann $\sum_{n\ge1}1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Compléments

• La série $\sum_{n\ge1}1/n^3$ converge par comparaison avec la série convergente $\sum_{n\ge1}1/n^2$.

💡 Astuce mémo

factorielle au dénominateur : convergence pour tout x ; puissance n^α : seuil α=1

📊 Tableaux de synthèse

Séries de référence