QCM : Séries réelles et critères de convergence — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une série de terme général unu_n ?

La limite des termes unu_n lorsque nn tend vers l’infini
La somme finie des termes compris entre deux indices fixés
La suite des termes individuels unu_n
La suite des sommes partielles Sn=∑k=n0nukS_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k

La suite des sommes partielles $$S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k$$

Explication

Une série est définie comme la suite de ses sommes partielles, et non comme la suite de ses seuls termes généraux. La suite unu_n représente les termes additionnés pour former ces sommes.

2. À quelle condition une série est-elle dite convergente ?

Lorsque son terme général est positif à partir d’un certain rang
Lorsque chaque somme partielle est égale à la précédente
Lorsque ses termes sont bornés par une constante réelle
Lorsque la suite de ses sommes partielles admet une limite finie

Lorsque la suite de ses sommes partielles admet une limite finie

Explication

La convergence d’une série signifie que ses sommes partielles tendent vers une limite finie, appelée somme de la série. Un terme général positif ou borné ne suffit pas à garantir cette propriété.

3. Comment s’exprime la somme d’une série convergente de terme général unu_n ?

∑n=n0+∞un=∑k=n0n0+1uk\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\sum_{k=n_0}^{n_0+1}u_k
∑n=n0+∞un=lim⁡n→+∞∑k=n0nuk\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=n_0}^{n}u_k
∑n=n0+∞un=lim⁡n→n0∑k=n0nuk\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to n_0}\sum_{k=n_0}^{n}u_k
∑n=n0+∞un=lim⁡n→+∞un\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}u_n

$$\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=n_0}^{n}u_k$$

Explication

La somme d’une série convergente est la limite de sa suite de sommes partielles lorsque l’indice tend vers l’infini. La limite du terme général est une condition nécessaire de convergence, mais elle ne donne pas la somme.

4. Quelle démarche permet de calculer la somme d’une série télescopique ?

Calculer chaque terme séparément, puis multiplier le dernier terme par le nombre de termes
Additionner les termes sans transformation, puis remplacer l’indice par sa valeur initiale
Regrouper les termes positifs et négatifs, puis comparer leurs nombres respectifs
Réécrire le terme en différence, développer, annuler les termes intermédiaires, puis prendre la limite

Réécrire le terme en différence, développer, annuler les termes intermédiaires, puis prendre la limite

Explication

Une série télescopique se simplifie en écrivant chaque terme comme une différence : les termes intermédiaires s’annulent dans la somme partielle, puis on étudie la limite des termes restants. Une addition directe ne met pas en évidence cette annulation structurée.

5. Que vaut, pour n≥1n\ge1, la somme partielle ∑k=1nln⁡(1+1k)\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) ?

ln⁡n\ln n
1n+1\frac{1}{n+1}
ln⁡(n+1)\ln(n+1)
nln⁡2n\ln 2

$$\ln(n+1)$$

Explication

On utilise ln⁡(1+1k)=ln⁡(k+1)−ln⁡k\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(k+1)-\ln k, ce qui produit une somme télescopique égale à ln⁡(n+1)\ln(n+1). Comme cette quantité tend vers +∞+\infty, la série correspondante diverge.

6. Que devient la nature d’une série lorsqu’on modifie un nombre fini de ses premiers termes ?

Elle reste inchangée, tandis que sa somme convergeante est corrigée de la variation finie
Elle conserve sa somme exacte, même lorsque les termes initiaux sont modifiés
Elle devient convergente dès que les nouveaux termes initiaux sont nuls
Elle devient divergente dès qu’un terme initial est remplacé

Elle reste inchangée, tandis que sa somme convergeante est corrigée de la variation finie

Explication

Une modification portant sur un nombre fini de termes ne change pas la convergence ou la divergence de la série. Si la série converge, sa somme varie toutefois de la somme des corrections apportées.

7. Si deux séries convergent, que peut-on conclure pour la série de terme général λun+μvn\lambda u_n+\mu v_n ?

Elle a pour somme λμ∑un∑vn\lambda\mu\sum u_n\sum v_n
Elle diverge dès que λ\lambda et μ\mu sont différents de zéro
Elle converge vers ∑un+∑vn\sum u_n+\sum v_n, indépendamment de λ\lambda et μ\mu
Elle converge vers λ∑un+μ∑vn\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n

Elle converge vers $$\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n$$

Explication

La convergence est stable par combinaison linéaire : les sommes partielles de λun+μvn\lambda u_n+\mu v_n tendent vers λ∑un+μ∑vn\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n. La multiplication des deux sommes correspondrait à une autre opération, pas à une combinaison linéaire.

8. Quelle affirmation illustre correctement le lien entre convergence d’une série et comportement de son terme général ?

La convergence d’une série impose que unu_n soit constant, mais une suite constante peut diverger
La convergence d’une série impose un→0u_n\to0, mais la condition un→0u_n\to0 ne suffit pas
La convergence d’une série impose que unu_n soit croissant, et cette croissance suffit également
La convergence d’une série impose que unu_n reste positif, et cette positivité suffit aussi

La convergence d’une série impose $$u_n\to0$$, mais la condition $$u_n\to0$$ ne suffit pas

Explication

Un terme général doit tendre vers zéro pour qu’une série converge, mais cette condition n’est pas suffisante. Ainsi, 1/k→01/k\to0 alors que la série harmonique ∑k≥11/k\sum_{k\ge1}1/k diverge.

9. Quel est le comportement de la série harmonique ∑k≥11k\sum_{k\ge1}\frac{1}{k} ?

Elle diverge vers +∞+\infty
Elle converge vers π26\frac{\pi^2}{6}
Elle converge vers 11
Elle oscille autour d’une limite finie

Elle diverge vers $$+\infty$$

Explication

La série harmonique diverge vers +∞+\infty, malgré le fait que son terme général tende vers zéro. La valeur π26\frac{\pi^2}{6} correspond à la série de Riemann d’exposant 22, et non à la série harmonique.

10. Quelle condition caractérise une série à termes positifs à partir d’un certain rang ?

Ses termes vérifient un≤0u_n\le 0 à partir de ce rang
Ses sommes partielles sont nulles à chaque rang
Ses termes changent de signe à chaque rang
Ses termes vérifient un≥0u_n\ge 0 à partir de ce rang

Ses termes vérifient $$u_n\ge 0$$ à partir de ce rang

Explication

Une série à termes positifs est définie par la non-négativité de ses termes à partir du rang initial considéré. Le changement de signe caractérise plutôt une série alternée.

11. Quelle propriété possède la suite des sommes partielles d’une série à termes positifs ?

Elle est périodique à partir d’un rang
Elle est strictement décroissante
Elle alterne entre deux valeurs
Elle est croissante

Elle est croissante

Explication

Ajouter un terme positif à une somme partielle ne peut pas la diminuer, de sorte que la suite des sommes partielles est croissante. Une série quelconque ne possède pas nécessairement cette propriété.

12. Pour une série à termes positifs, quelle condition caractérise sa convergence ?

La suite des termes est croissante
La suite des sommes partielles change de signe
Les termes sont tous différents de zéro
La suite des sommes partielles est majorée

La suite des sommes partielles est majorée

Explication

Comme les sommes partielles sont croissantes, elles convergent précisément lorsqu’elles sont majorées. La croissance des termes ne fournit pas ce critère, et les deux autres propriétés ne sont pas requises.

13. Si 0≤un≤vn0\le u_n\le v_n à partir d’un certain rang et si ∑vn\sum v_n converge, que peut-on conclure pour ∑un\sum u_n ?

La série ∑un\sum u_n diverge
La série ∑un\sum u_n change de signe
La série ∑un\sum u_n converge
Les deux séries ont nécessairement des sommes égales

La série $$\sum u_n$$ converge

Explication

La comparaison avec une série convergente majorante entraîne la convergence de la série minorée par celle-ci. En revanche, la convergence de la petite série ne suffit pas en général à conclure pour la grande.

14. Deux suites positives à partir d’un certain rang vérifient un∼vnu_n\sim v_n. Quelle relation existe-t-il entre leurs séries ?

Les deux séries ont nécessairement la même somme
Les deux séries ont des sommes partielles opposées
Les deux séries diffèrent par une constante non nulle
Les deux séries sont de même nature

Les deux séries sont de même nature

Explication

Pour des termes positifs équivalents, les séries associées convergent ou divergent ensemble : elles sont de même nature. L’équivalence ne garantit pas que leurs sommes soient égales.

15. Pourquoi la série ∑k≥11/k2\sum_{k\ge1}1/k^2 converge-t-elle ?

Parce que ses termes sont équivalents à ceux d’une série harmonique divergente
Parce que, pour k≥2k\ge2, 0≤1/k2≤1/[k(k−1)]0\le1/k^2\le1/[k(k-1)] et la série majorante converge
Parce que ses termes augmentent vers une limite positive
Parce que ses sommes partielles sont bornées par une série divergente

Parce que, pour $$k\ge2$$, $$0\le1/k^2\le1/[k(k-1)]$$ et la série majorante converge

Explication

Pour k≥2k\ge2, la comparaison 0≤1/k2≤1/[k(k−1)]0\le1/k^2\le1/[k(k-1)] utilise une série majorante convergente, ce qui établit la convergence. Une série harmonique divergente ne pourrait pas fournir cette majoration convergente.

16. Quelle est la forme d’une série géométrique de raison réelle qq ?

∑n≥0nqn\sum_{n\ge0}nq^n
∑n≥0qn\sum_{n\ge0}q^n
∑n≥0nq\sum_{n\ge0}n^q
∑n≥0q+n\sum_{n\ge0}q+n

$$\sum_{n\ge0}q^n$$

Explication

Une série géométrique est formée des puissances successives de sa raison, sous la forme ∑n≥0qn\sum_{n\ge0}q^n. La présence d’un facteur nn correspond à une autre famille de séries, et non à la définition de base.

17. Pour quelle condition sur la raison réelle qq la série ∑n≥0qn\sum_{n\ge0}q^n converge-t-elle, et quelle est alors sa somme ?

Si ∣q∣<1|q|<1, avec une somme égale à 11−q\frac{1}{1-q}
Si q≤−1q\le-1, avec une somme égale à 11+q\frac{1}{1+q}
Si q=1q=1, avec une somme égale à 11
Si ∣q∣>1|q|>1, avec une somme égale à 1q−1\frac{1}{q-1}

Si $$|q|<1$$, avec une somme égale à $$\frac{1}{1-q}$$

Explication

La série géométrique converge lorsque la valeur absolue de sa raison est inférieure à un, et sa somme vaut alors 11−q\frac{1}{1-q}. Lorsque ∣q∣≥1|q|\ge1, les termes ne conduisent pas à une série convergente.

18. Quelle expression définit une série géométrique dérivée d’ordre 1 ?

∑n≥1qn−1n\sum_{n\ge 1} \frac{q^{n-1}}{n}
∑n≥1nqn−1\sum_{n\ge 1} nq^{n-1}
∑n≥1n2qn−1\sum_{n\ge 1} n^2q^{n-1}
∑n≥1qn\sum_{n\ge 1} q^n

$$\sum_{n\ge 1} nq^{n-1}$$

Explication

Une série géométrique dérivée d’ordre 1 contient le facteur nn et s’écrit ∑n≥1nqn−1\sum_{n\ge 1} nq^{n-1}. La série ∑n≥1qn\sum_{n\ge 1}q^n est une série géométrique simple, sans ce facteur.

19. Pour ∣q∣<1|q|<1, quelle est la somme de la série ∑n=1+∞nqn−1\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1} ?

11−q\frac{1}{1-q}
q(1−q)2\frac{q}{(1-q)^2}
1(1+q)2\frac{1}{(1+q)^2}
1(1−q)2\frac{1}{(1-q)^2}

$$\frac{1}{(1-q)^2}$$

Explication

Lorsque ∣q∣<1|q|<1, la série géométrique dérivée d’ordre 1 a pour somme 1(1−q)2\frac{1}{(1-q)^2}. L’expression 11−q\frac{1}{1-q} correspond à la somme d’une série géométrique simple commençant par une puissance appropriée de qq.

20. Quelle forme caractérise une série exponentielle de variable réelle xx ?

∑n≥11nx\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^x}
∑n≥1xnn\sum_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}
∑n≥0xnn!\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}
∑n≥0xn\sum_{n\ge 0}x^n

$$\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}$$

Explication

Une série exponentielle associe la puissance xnx^n au dénominateur factoriel n!n!. La série ∑n≥11/nx\sum_{n\ge 1}1/n^x est une série de Riemann, car elle repose sur une puissance de l’indice.

21. Que peut-on affirmer au sujet de la série exponentielle ∑n=0+∞xnn!\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} lorsque xx est réel ?

Elle converge lorsque ∣x∣<1|x|<1 et sa somme vaut 11−x\frac{1}{1-x}.
Elle converge lorsque x≠0x\ne 0 et sa somme vaut ln⁡(x)\ln(x).
Elle converge pour tout xx réel et sa somme vaut exe^x.
Elle converge lorsque x>1x>1 et sa somme vaut x2x^2.

Elle converge pour tout $$x$$ réel et sa somme vaut $$e^x$$.

Explication

La série exponentielle converge pour tout réel xx et sa somme est exe^x. La condition ∣x∣<1|x|<1 concerne une série géométrique, dont la somme n’est pas celle de la série exponentielle.

22. Pour quelle condition sur α\alpha la série de Riemann ∑n≥11nα\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^\alpha} converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si α<1\alpha<1.
Elle converge si et seulement si α>1\alpha>1.
Elle converge si et seulement si α≥0\alpha\ge 0.
Elle converge si et seulement si α≠1\alpha\ne 1.

Elle converge si et seulement si $$\alpha>1$$.

Explication

Le critère des séries de Riemann affirme que ∑n≥11/nα\sum_{n\ge 1}1/n^\alpha converge exactement lorsque α>1\alpha>1. En particulier, la valeur α=1\alpha=1 ne suffit pas, car elle correspond à la série harmonique divergente.

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Qu'est-ce qu'une série de terme général u_n ?

C'est la suite des sommes partielles Sn=∑k=n0nukS_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k pour n≥n0n \geq n_0.

Quand une série est-elle dite convergente ?

Quand la suite de ses sommes partielles converge vers une limite finie.

Comment s'exprime la somme d'une série convergente ?

Elle est la limite des sommes partielles lim⁡n→+∞∑k=n0nuk\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=n_0}^{n}u_k.

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