QCM : Rappels de mathématiques L1 — 46 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise un intervalle de R\mathbb{R} ?

L’ensemble doit contenir zéro et des nombres positifs
Tout réel compris entre deux éléments de l’ensemble appartient aussi à l’ensemble
Tout élément de l’ensemble doit être un nombre entier
Tout réel extérieur à deux éléments de l’ensemble appartient aussi à l’ensemble

Tout réel compris entre deux éléments de l’ensemble appartient aussi à l’ensemble

Explication

Un intervalle contient tout réel situé entre deux de ses éléments. La présence d’entiers, de zéro ou de nombres extérieurs ne définit pas cette propriété.

2. Quelle affirmation décrit correctement l’intervalle [a;b][a;b] par rapport à ]a;b[]a;b[ ?

Le premier contient ses deux bornes, tandis que le second ne contient aucune borne
Le premier exclut ses deux bornes, tandis que le second les contient toutes deux
Le premier contient seulement la borne gauche, tandis que le second contient la borne droite
Le premier contient seulement la borne droite, tandis que le second exclut la borne gauche

Le premier contient ses deux bornes, tandis que le second ne contient aucune borne

Explication

Les crochets indiquent que [a;b][a;b] contient aa et bb, alors que ]a;b[]a;b[ exclut ces deux valeurs. Les intervalles semi-ouverts ne contiennent qu’une seule borne.

3. Que signifie l’écriture logique ∃!x∈E, P(x)\exists!x\in E,\ P(x) ?

Aucun élément de EE ne vérifie la propriété P(x)P(x)
Tout élément de EE vérifie la propriété P(x)P(x)
Il existe un unique élément de EE qui vérifie P(x)P(x)
Il existe au moins un élément de EE qui vérifie P(x)P(x)

Il existe un unique élément de $$E$$ qui vérifie $$P(x)$$

Explication

Le symbole ∃!\exists! indique l’existence d’un seul élément satisfaisant la propriété. Le symbole ∃\exists exprimerait une existence sans garantir l’unicité, tandis que ∀\forall signifie « pour tout ».

4. Quelle notation représente l’ensemble des réels strictement positifs ?

R+=[0;+∞[\mathbb{R}_+=[0;+\infty[
R∗=R∖{0}\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}
\mathbb{R}^-^*=] -\infty;0[
R+∗=]0;+∞[\mathbb{R}_+^*=]0;+\infty[

$$\mathbb{R}_+^*=]0;+\infty[$$

Explication

L’ensemble R+∗\mathbb{R}_+^* contient les réels positifs sans zéro, ce qui correspond à l’intervalle ]0;+∞[]0;+\infty[. En revanche, R+\mathbb{R}_+ contient aussi zéro.

5. Quel critère permet de déterminer rapidement si un entier est divisible par 22 ou par 55 ?

Ses deux derniers chiffres forment un multiple de 22 pour 22, ou de 55 pour 55
Son premier chiffre est pair pour 22, ou impair pour 55
Son chiffre des unités appartient à {0,2,4,6,8}\{0,2,4,6,8\} pour 22, ou à {0,5}\{0,5\} pour 55
La somme de ses chiffres est divisible par 22 pour 22, ou par 55 pour 55

Son chiffre des unités appartient à $$\{0,2,4,6,8\}$$ pour $$2$$, ou à $$\{0,5\}$$ pour $$5$$

Explication

La divisibilité par 22 et par 55 se lit à partir du chiffre des unités, avec les ensembles indiqués. La somme des chiffres sert plutôt aux critères de divisibilité par 33 et 99.

6. Un entier a une somme de chiffres égale à 1818. Que peut-on conclure concernant sa divisibilité ?

Il est divisible par 33, mais pas par 99
Il est divisible par 33 et par 99
Il n’est divisible ni par 33 ni par 99
Il est divisible par 99, mais pas par 33

Il est divisible par $$3$$ et par $$9$$

Explication

Comme 1818 est divisible à la fois par 33 et par 99, l’entier possède ces deux propriétés de divisibilité. Une somme divisible par 33 suffit pour le critère de 33, tandis que celle de 99 doit être un multiple de 99.

7. Quel entier est premier selon la définition arithmétique ?

11, car il possède un seul diviseur positif
1515, car il est supérieur ou égal à 22 et impair
2121, car il est divisible par 33 et par 77
1313, car il possède exactement les diviseurs 11 et 1313

$$13$$, car il possède exactement les diviseurs $$1$$ et $$13$$

Explication

Un nombre premier supérieur ou égal à 22 possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 11 et lui-même. 1515 et 2121 ont d’autres diviseurs, tandis que 11 n’est pas premier.

8. La fraction ab\frac{a}{b} représente une division dans quelles conditions ?

Le dénominateur bb doit être non nul, tandis que le numérateur aa peut être nul
Le numérateur aa doit être non nul, tandis que le dénominateur bb peut être nul
Les deux nombres aa et bb doivent être strictement positifs
Le numérateur aa doit être supérieur au dénominateur bb

Le dénominateur $$b$$ doit être non nul, tandis que le numérateur $$a$$ peut être nul

Explication

Une fraction est le quotient de aa par bb et cette division est définie lorsque b≠0b\neq0. Le numérateur peut notamment être nul, ce qui donne une fraction de valeur nulle.

9. Quelle expression donne la somme de ab\frac{a}{b} et cd\frac{c}{d} lorsque b≠0b\neq0 et d≠0d\neq0 ?

ac+bdab+cd\frac{ac+bd}{ab+cd}
a+cb+d\frac{a+c}{b+d}
ad−bcbd\frac{ad-bc}{bd}
ad+bcbd\frac{ad+bc}{bd}

$$\frac{ad+bc}{bd}$$

Explication

Pour additionner deux fractions, on les met au dénominateur commun bdbd, ce qui donne le numérateur ad+bcad+bc. L’expression a+cb+d\frac{a+c}{b+d} n’est pas une règle générale d’addition des fractions.

10. Pour b≠0b\neq0, d≠0d\neq0 et c≠0c\neq0, quelle transformation applique-t-on à ab÷cd\frac{a}{b}\div\frac{c}{d} ?

On obtient a+bc+d\frac{a+b}{c+d} en additionnant les termes correspondants
On obtient acbd\frac{ac}{bd} en multipliant les numérateurs et les dénominateurs
On obtient adbc\frac{ad}{bc} en multipliant par l’inverse de la seconde fraction
On obtient bcad\frac{bc}{ad} en inversant le quotient obtenu

On obtient $$\frac{ad}{bc}$$ en multipliant par l’inverse de la seconde fraction

Explication

Diviser par cd\frac{c}{d} revient à multiplier par son inverse dc\frac{d}{c}, d’où ab×dc=adbc\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}. Le dénominateur de la seconde fraction doit être non nul et son numérateur aussi pour que la division soit définie.

11. Pour un réel a>0a>0, quelle affirmation distingue correctement a\sqrt{a} des solutions de l’équation x2=ax^2=a ?

a\sqrt{a} représente les deux solutions, tandis que l’équation possède une racine positive
a\sqrt{a} n’est définie que lorsque l’équation possède une solution unique
a\sqrt{a} est la solution positive, tandis que les solutions sont a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a}
a\sqrt{a} est la solution négative, tandis que les solutions sont aa et −a-a

$$\sqrt{a}$$ est la solution positive, tandis que les solutions sont $$\sqrt{a}$$ et $$-\sqrt{a}$$

Explication

Par définition, a\sqrt{a} désigne l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut aa, alors que x2=ax^2=a possède deux solutions opposées lorsque a>0a>0. Confondre le symbole radical avec l’ensemble des solutions conduit donc à inclure à tort la racine négative dans a\sqrt{a}.

12. Quelle est la valeur de (−5)2\sqrt{(-5)^2} ?

−25-25
55
−5-5
2525

$$5$$

Explication

La règle générale est a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| ; ainsi, (−5)2=∣−5∣=5\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5. Le résultat n’est pas −5-5, car une racine carrée désigne un réel positif ou nul.

13. Pour des bases non nulles, comment simplifier a7a3\frac{a^7}{a^3} ?

a21a^{21}
a4a^4
a10a^{10}
a−4a^{-4}

$$a^4$$

Explication

Lorsqu’on divise deux puissances de même base non nulle, on soustrait les exposants : a7a3=a7−3=a4\frac{a^7}{a^3}=a^{7-3}=a^4. L’addition des exposants correspond à une multiplication de puissances, pas à leur quotient.

14. Pour démontrer l’égalité de deux expressions AA et BB, quelle démarche constitue une méthode valide ?

Comparer seulement les termes présentant un même exposant
Transformer une expression sans vérifier ses conditions d’existence
Remplacer chaque variable par une valeur choisie
Transformer AA jusqu’à obtenir BB

Transformer $$A$$ jusqu’à obtenir $$B$$

Explication

On peut notamment transformer progressivement AA jusqu’à obtenir BB, ou encore montrer que A−B=0A-B=0. Donner une valeur particulière aux variables ne suffit pas à démontrer une égalité générale.

15. Avant de démontrer une égalité entre deux expressions dépendant de xx, quelle vérification est nécessaire ?

Développer les deux expressions sans examiner les dénominateurs
Choisir une valeur de xx qui annule les deux expressions
Supposer que deux écritures algébriques ont le même domaine
Vérifier leur ensemble de définition commun ou préciser les restrictions

Vérifier leur ensemble de définition commun ou préciser les restrictions

Explication

Une égalité ne peut être étudiée que pour les valeurs de xx où les deux expressions sont définies, ce qui impose de comparer leurs domaines ou d’indiquer les restrictions. Deux expressions peuvent coïncider pour x≠0x\ne0 tout en n’ayant pas le même ensemble de définition.

16. Quelle propriété caractérise une fonction définie sur un ensemble EE ?

À chaque x∉Ex\notin E, elle associe une image réelle déterminée
À chaque réel yy, elle associe plusieurs antécédents dans EE
À chaque x∈Ex\in E, elle associe au plus un réel y=f(x)y=f(x)
À chaque élément de l’ensemble image, elle associe exactement un antécédent

À chaque $$x\in E$$, elle associe au plus un réel $$y=f(x)$$

Explication

Une fonction associe à tout élément de son domaine au plus une valeur réelle. La définition ne garantit ni l’existence d’un antécédent pour chaque image ni l’existence d’une image pour les nombres extérieurs à EE.

17. Que représente l’ensemble de définition DfD_f d’une fonction ff ?

L’ensemble des couples formés par un antécédent et son image
L’ensemble des valeurs obtenues comme images par ff
L’ensemble des nombres qui possèdent une image par ff
L’ensemble des nombres qui annulent l’expression de ff

L’ensemble des nombres qui possèdent une image par $$f$$

Explication

Le domaine DfD_f regroupe les antécédents autorisés, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles la fonction possède une image. Les valeurs obtenues constituent l’ensemble image, qui est une notion différente.

18. Pour quelles valeurs de xx la fonction f(x)=x+1x−3f(x)=\frac{x+1}{x-3} est-elle définie ?

Pour x≠−1x\ne-1
Pour x≠3x\ne3
Pour x>3x>3
Pour x≥3x\ge3

Pour $$x\ne3$$

Explication

Le numérateur est défini pour tout réel, mais le dénominateur doit être non nul : x−3≠0x-3\ne0, donc x≠3x\ne3. La valeur x=−1x=-1 annule le numérateur et reste donc autorisée.

19. Quelles conditions doivent vérifier les expressions sous-jacentes pour que f(x)=A(x)B(x)f(x)=\frac{A(x)}{\sqrt{B(x)}} soit définie ?

B(x)B(x) est définie et A(x)>0A(x)>0
A(x)A(x) est définie et B(x)≥0B(x)\ge0
A(x)A(x) et B(x)B(x) sont positives ou nulles
A(x)A(x) est définie et B(x)>0B(x)>0

$$A(x)$$ est définie et $$B(x)>0$$

Explication

La racine impose d’abord B(x)≥0B(x)\ge0, mais elle se trouve au dénominateur, qui doit être non nul ; il faut donc B(x)>0B(x)>0, avec A(x)A(x) définie. La condition B(x)≥0B(x)\ge0 conviendrait à une racine placée au numérateur, pas à ce quotient.

20. Quelle égalité caractérise une fonction paire définie sur un domaine centré en zéro ?

f(x)=0f(x)=0 pour tout xx du domaine
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout xx du domaine
f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour tout xx du domaine
f(x)=f(0)+xf(x)=f(0)+x pour tout xx du domaine

$$f(-x)=f(x)$$ pour tout $$x$$ du domaine

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en xx et en −x-x, d’où la relation f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). La relation f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) caractérise une fonction impaire.

21. Une fonction vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) sur un domaine centré en zéro ; de quelle propriété s’agit-il ?

Elle est impaire
Elle est paire
Elle est périodique
Elle est constante

Elle est impaire

Explication

La relation entre les valeurs opposées est celle d’une fonction impaire. Une fonction paire satisferait plutôt f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).

22. Quelle symétrie possède la courbe d’une fonction impaire ?

Une symétrie centrale par rapport à l’origine
Une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses
Une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées
Une symétrie centrale par rapport à un point quelconque

Une symétrie centrale par rapport à l’origine

Explication

L’imparité associe à chaque point de la courbe son symétrique par rapport à l’origine, ce qui donne une symétrie centrale. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées correspond à une fonction paire.

23. Sur un intervalle II, que peut-on conclure si une fonction dérivable vérifie f′(x)≥0f'(x)\geq 0 pour tout x∈Ix\in I ?

La fonction est croissante sur II
La fonction est constante sur II
La fonction est impaire sur II
La fonction est décroissante sur II

La fonction est croissante sur $$I$$

Explication

Une dérivée positive ou nulle sur un intervalle indique que la fonction y est croissante. La constance nécessite plutôt f′(x)=0f'(x)=0 sur tout l’intervalle.

24. Dans l’expression g∘fg\circ f, dans quel ordre les fonctions s’appliquent-elles à un nombre xx ?

On additionne les valeurs de ff et de gg
On applique simultanément ff et gg
On applique d’abord ff, puis gg
On applique d’abord gg, puis ff

On applique d’abord $$f$$, puis $$g$$

Explication

Par définition, (g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)(x)=g\left(f(x)\right) : ff agit d’abord, puis gg agit sur le résultat. L’ordre inverse correspondrait à f∘gf\circ g.

25. Comment définit-on la racine qq-ième d’un réel b≥0b\geq 0, avec qq entier naturel non nul ?

Comme le réel b/qb/q lorsque cette division existe
Comme l’unique réel positif aa tel que aq=ba^q=b
Comme le carré positif de bb
Comme tout réel aa vérifiant aq=ba^q=b

Comme l’unique réel positif $$a$$ tel que $$a^q=b$$

Explication

La racine qq-ième de bb est l’unique réel positif aa dont la puissance qq vaut bb. L’équation aq=ba^q=b peut toutefois admettre d’autres solutions selon la parité de qq.

26. Pour a>0a>0, quel calcul est conforme à la règle des puissances rationnelles pour p∈Zp\in\mathbb{Z} et q∈N∗q\in\mathbb{N}^* ?

ap/q=p a/qa^{p/q}=p\,a/q
ap/q=(ap)1/q=(a1/q)pa^{p/q}=(a^p)^{1/q}=(a^{1/q})^p
ap/q=(aq)pa^{p/q}=(a^q)^p
ap/q=ap+aqa^{p/q}=a^p+ a^q

$$a^{p/q}=(a^p)^{1/q}=(a^{1/q})^p$$

Explication

Une puissance rationnelle peut être calculée comme la racine qq-ième de apa^p ou comme la puissance pp-ième de la racine qq-ième de aa. Les autres expressions ne respectent pas la définition donnée.

27. Comment caractérise-t-on un vecteur de R2\mathbb{R}^2 ?

Par un couple de réels représentant ses composantes
Par deux points sans orientation
Par une équation définissant une droite
Par un réel positif représentant sa norme

Par un couple de réels représentant ses composantes

Explication

Dans le plan, un vecteur est représenté par un couple (a,b)\left(a,b\right) de réels, ses composantes. Sa norme est une longueur positive, mais elle ne contient pas à elle seule les deux composantes orientées.

28. Si A(2,−1)A(2,-1) et B(5,3)B(5,3), quelles sont les composantes du vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

(7,2)(7,2)
(−3,−4)(-3,-4)
(−7,2)(-7,2)
(3,4)(3,4)

$$(3,4)$$

Explication

On soustrait les coordonnées de AA à celles de BB : AB→=(5−2,3−(−1))=(3,4)\overrightarrow{AB}=(5-2,3-(-1))=(3,4). Le couple (−3,−4)(-3,-4) correspondrait au vecteur opposé BA→\overrightarrow{BA}.

29. Dans R2\mathbb{R}^2, quelle est la somme de deux vecteurs (x,y)(x,y) et (x′,y′)(x',y') ?

(x+y,x′+y′)(x+y,x'+y')
(xx′,yy′)(xx',yy')
(x+x′,y+y′)(x+x',y+y')
(x−x′,y−y′)(x-x',y-y')

$$(x+x',y+y')$$

Explication

La somme vectorielle s’effectue composante par composante, ce qui donne (x+x′,y+y′)\left(x+x',y+y'\right). Les produits de composantes et les soustractions décrivent d’autres opérations.

30. Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur (3,4)(3,4) ?

77
55
1212
7\sqrt{7}

$$5$$

Explication

La norme vaut x2+y2\sqrt{x^2+y^2}, donc ici 32+42=25=5\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. La valeur 77 est la somme des composantes et ne représente pas la norme euclidienne.

31. Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires ?

L’un est nul ou l’un est un multiple réel de l’autre
La somme de leurs coordonnées est nécessairement nulle
Leurs coordonnées sont égales dans chaque composante
Leur produit scalaire est nul, quelle que soit leur direction

L’un est nul ou l’un est un multiple réel de l’autre

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est nul ou peut s’écrire comme un multiple réel de l’autre. Un produit scalaire nul caractérise plutôt l’orthogonalité, et non la colinéarité.

32. Les vecteurs (2,3)\left(2,3\right) et (4,6)\left(4,6\right) sont-ils colinéaires, et pourquoi ?

Non, car leurs deux premières coordonnées sont différentes
Oui, car leur déterminant vaut 2×6−4×3=02\times6-4\times3=0
Non, car leur déterminant vaut 2×4−3×6=−102\times4-3\times6= -10
Oui, car leur produit scalaire vaut 2×4+3×6=02\times4+3\times6=0

Oui, car leur déterminant vaut $$2\times6-4\times3=0$$

Explication

Le déterminant vaut 2×6−4×3=02\times6-4\times3=0, ce qui caractérise la colinéarité de ces deux vecteurs. Le produit scalaire n’est pas nul et ne permet donc pas de conclure à la colinéarité.

33. Quel est le produit scalaire des vecteurs (3,−2)\left(3,-2\right) et (4,5)\left(4,5\right), et quelle relation ont-ils ?

Il vaut 2222, donc les vecteurs sont colinéaires
Il vaut −2-2, donc les vecteurs sont orthogonaux
Il vaut 77, donc les vecteurs ont la même norme
Il vaut 22, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux

Il vaut $$2$$, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux

Explication

Le produit scalaire vaut 3×4+(−2)×5=23\times4+(-2)\times5=2. Comme ce résultat n’est pas nul, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

34. Quelle représentation paramétrique décrit la droite passant par A(1,−2)A(1,-2) et de vecteur directeur (3,4)\left(3,4\right) ?

x=−2+3t, y=1+4tx=-2+3t,\ y=1+4t avec t∈Rt\in\mathbb{R}
x=1+4t, y=−2+3tx=1+4t,\ y=-2+3t avec t∈Rt\in\mathbb{R}
x=1+3t, y=−2+4tx=1+3t,\ y=-2+4t avec t∈Rt\in\mathbb{R}
x=3+t, y=4+tx=3+t,\ y=4+t avec t∈Rt\in\mathbb{R}

$$x=1+3t,\ y=-2+4t$$ avec $$t\in\mathbb{R}$$

Explication

Une droite passant par A(xA,yA)A(x_A,y_A) et de vecteur directeur (α,β)\left(\alpha,\beta\right) s’écrit x=xA+tαx=x_A+t\alpha et y=yA+tβy=y_A+t\beta. Les coordonnées du point et celles du vecteur sont donc utilisées dans leurs rôles respectifs.

35. Quelle expression définit une fonction affine sur R\mathbb{R} ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0
f(x)=mx+pf(x)=\frac{m}{x}+p avec x≠0x\ne0
f(x)=mx+pf(x)=mx+p avec m,p∈Rm,p\in\mathbb{R}
f(x)=mx+pf(x)=m^x+p avec m>0m>0

$$f(x)=mx+p$$ avec $$m,p\in\mathbb{R}$$

Explication

Une fonction affine s’écrit f(x)=mx+pf(x)=mx+p, où les coefficients mm et pp sont réels. Les autres expressions correspondent à des fonctions du second degré, rationnelles ou exponentielles.

36. Une fonction affine vérifie f(2)=5f(2)=5 et f(6)=13f(6)=13. Quel est son coefficient directeur ?

m=2m=2
m=4m=4
m=8m=8
m=52m=\frac{5}{2}

$$m=2$$

Explication

Le coefficient directeur est m=13−56−2=84=2m=\frac{13-5}{6-2}=\frac{8}{4}=2. La valeur 55 est une image et ne représente pas directement l’ordonnée à l’origine.

37. Une quantité passe de 200200 à 250250. Quel sont son taux d’évolution et son coefficient multiplicateur ?

t=0,20t=0,20 et c=1,20c=1,20
t=1,25t=1,25 et c=0,25c=0,25
t=50t=50 et c=250c=250
t=0,25t=0,25 et c=1,25c=1,25

$$t=0,25$$ et $$c=1,25$$

Explication

Le taux d’évolution vaut t=250−200200=0,25t=\frac{250-200}{200}=0,25 et le coefficient multiplicateur vaut c=250200=1,25=1+tc=\frac{250}{200}=1,25=1+t. Le taux exprime une variation relative, tandis que le coefficient compare directement la valeur finale à la valeur initiale.

38. Une valeur augmente de 10%10\% puis diminue de 10%10\%. Quel est le coefficient multiplicateur global ?

1,10×0,90=0,991,10\times0,90=0,99
0,10×0,10=0,010,10\times0,10=0,01
1,10+0,90=21,10+0,90=2
1+0,10−0,10=11+0,10-0,10=1

$$1,10\times0,90=0,99$$

Explication

Lors d’évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient, donc le coefficient global est 1,10×0,90=0,991,10\times0,90=0,99. Les taux d’évolution ne s’additionnent pas, ce qui explique que la valeur finale diminue de 1%1\%.

39. Quelle forme générale décrit un système linéaire de deux équations à deux inconnues ?

ax+by=cax+by=c et a′x+b′y=c′a'x+b'y=c', avec des coefficients non simultanément nuls dans chaque équation
ax+b=cax+b=c et a′x+b′=c′a'x+b'=c', avec une seule inconnue commune
ax2+by2=cax^2+by^2=c et a′x2+b′y2=c′a'x^2+b'y^2=c', avec des coefficients réels
ax+by=ca^x+b^y=c et a′x+b′y=c′a'^x+b'^y=c', avec des bases positives

$$ax+by=c$$ et $$a'x+b'y=c'$$, avec des coefficients non simultanément nuls dans chaque équation

Explication

Un tel système contient deux équations du premier degré faisant intervenir les mêmes inconnues xx et yy. Chaque équation doit comporter au moins un coefficient non nul devant ces inconnues.

40. Pour un système dont le déterminant vaut D=ab′−a′b≠0D=ab'-a'b\ne0, combien de solutions possède-t-il ?

Aucune solution réelle
Une infinité de solutions
Deux solutions distinctes
Une solution unique

Une solution unique

Explication

Lorsque D≠0D\ne0, les deux équations déterminent une solution unique. La situation où il peut y avoir aucune solution ou une infinité de solutions correspond à D=0D=0, mais ce cas exige une étude supplémentaire.

41. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^2-2x+1
f(x)=2x+1f(x)=\frac{2}{x}+1
f(x)=4x−7f(x)=4x-7
f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2x

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Explication

Une fonction du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0, ce qui est le cas de 3x2−2x+13x^2-2x+1. Les autres expressions sont respectivement affine, rationnelle et de degré trois.

42. Combien de racines réelles possède l’équation 2x2−4x+5=02x^2-4x+5=0 ?

Une infinité, car ses coefficients sont réels
Deux, car son discriminant est positif
Aucune, car son discriminant est négatif
Une, car son discriminant est nul

Aucune, car son discriminant est négatif

Explication

Le discriminant vaut Δ=(−4)2−4×2×5=16−40=−24<0\Delta=(-4)^2-4\times2\times5=16-40=-24<0, donc l’équation ne possède aucune racine réelle. Un discriminant nul donnerait une racine réelle unique, tandis qu’un discriminant positif en donnerait deux.

43. Quelle condition caractérise la dérivabilité de ff en x0x_0 ?

Le quotient f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} admet une limite réelle quand xx tend vers x0x_0.
La fonction ff possède une valeur maximale locale au point x0x_0.
Le quotient f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} reste constant pour tout xx proche de x0x_0.
La courbe de ff coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x0x_0.

Le quotient $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ admet une limite réelle quand $$x$$ tend vers $$x_0$$.

Explication

La dérivabilité signifie que le quotient des accroissements possède une limite réelle lorsque xx tend vers x0x_0, et cette limite définit f′(x0)f'(x_0). Une sécante correspond à deux points distincts, tandis que la limite de ses pentes conduit à la tangente.

44. La courbe d’une fonction dérivable passe par le point (2,5)\left(2,5\right) et vérifie f′(2)=3f'(2)=3. Quelle est l’équation de sa tangente en ce point ?

y=2(x−3)+5y=2(x-3)+5
y=3(x−2)+5y=3(x-2)+5
y=5(x−2)+3y=5(x-2)+3
y=3(x−5)+2y=3(x-5)+2

$$y=3(x-2)+5$$

Explication

La tangente s’écrit y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) ; avec x0=2x_0=2, f′(2)=3f'(2)=3 et f(2)=5f(2)=5, on obtient l’expression proposée. La pente est donnée par la dérivée, tandis que le point de contact fournit les coordonnées (x0,f(x0))\left(x_0,f(x_0)\right).

45. Si f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=ln⁡xg(x)=\ln x pour x>0x>0, quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

2xln⁡x+1x2x\ln x+\frac{1}{x}
x2ln⁡x+2xx^2\ln x+2x
2x+ln⁡x2x+\ln x
2xln⁡x+x2x\ln x+x

$$2x\ln x+x$$

Explication

La règle du produit donne (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg' ; ici f′(x)=2xf'(x)=2x et g′(x)=1xg'(x)=\frac{1}{x}, donc (fg)′=2xln⁡x+x(fg)'=2x\ln x+x. L’expression 2xln⁡x+1x2x\ln x+\frac{1}{x} oublie le facteur x2x^2 devant la dérivée de ln⁡x\ln x.

46. Pour h(x)=ex2+1h(x)=e^{x^2+1}, quelle est la dérivée obtenue avec la règle de dérivation d’une composée ?

h′(x)=2xex2h'(x)=2x e^{x^2}
h′(x)=(x2+1)ex2h'(x)=(x^2+1)e^{x^2}
h′(x)=2xex2+1h'(x)=2x e^{x^2+1}
h′(x)=e2x+1h'(x)=e^{2x+1}

$$h'(x)=2x e^{x^2+1}$$

Explication

La dérivée d’une composée multiplie la dérivée de la fonction intérieure par la dérivée de la fonction extérieure évaluée en cette fonction intérieure, ce qui donne 2xex2+12x e^{x^2+1}. L’expression e2x+1e^{2x+1} modifie l’exposant au lieu d’appliquer la règle de la chaîne.

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Que contient l'ensemble des nombres réels noté R ?

Tous les nombres utilisés dans ce cours.

Qu'est-ce qu'un intervalle dans R ?

Un sous-ensemble où tout réel entre deux éléments appartient aussi à l'ensemble.

Quelle différence y a-t-il entre un intervalle fermé et un intervalle ouvert ?

L'intervalle fermé contient ses bornes, l'ouvert n'en contient aucune.

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