Fiche de révision : Rappels sur les fractions

📋 Plan du Cours

1. Multiples et critères de divisibilité
2. Nombres premiers et décomposition
3. Fractions irréductibles
4. Sommes et produits de fractions
5. Quotients et inverses
6. Calcul littéral fractionnaire

📖 1. Multiples et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Un entier a est un multiple d’un entier b et b est un diviseur de a s’il existe un entier relatif k tel que $a=kb$.

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

Compléments

• Comme $39=13\times3$, 39 est un multiple de 13 et 13 est un diviseur de 39.

📖 2. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier positif qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs, 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, et seul 2 peut être un nombre premier pair.

• Pour montrer qu’un entier n est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt n$.

📐 Formule — Tout entier supérieur à 1 s’écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers ; par exemple, $17\,550=2\times3^3\times5^2\times13$.

Compléments

• Pour 139, comme $\sqrt{139}\approx11{,}79$, il suffit de tester 2, 3, 5, 7 et 11 ; aucun ne divise 139, donc 139 est premier.

💡 Astuce mémo

Tester les petits premiers, puis factoriser dans l’ordre croissant

📖 3. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun différent de 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier c non nul, $\frac{a\times c}{b\times c}=\frac ab$.

Compléments

• La fraction $\frac4{14}$ se simplifie en $\frac27$ en divisant le numérateur et le dénominateur par 2.

📖 4. Sommes et produits de fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on utilise $\frac ad+\frac cd=\frac{a+c}d$ et $\frac ad-\frac cd=\frac{a-c}d$.

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit d’abord au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

📐 Formule — Le produit de deux fractions se calcule par $\frac ab\times\frac cd=\frac{a\times c}{b\times d}$.

Compléments

• On obtient $\frac47+\frac{13}{21}=\frac{12}{21}+\frac{13}{21}=\frac{25}{21}$ en transformant uniquement la première fraction.

💡 Astuce mémo

Somme : même dénominateur ; produit : numérateurs et dénominateurs se multiplient

📖 5. Quotients et inverses

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Lorsque leur produit vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’inverse de la fraction $\frac ab$, avec a et b non nuls, est $\frac ba$, et l’inverse d’un entier non nul a est $\frac1a$.

📐 Formule — Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse, donc $\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc$.

Compléments

• On calcule $\frac23\div\frac45=\frac23\times\frac54=\frac56$.

💡 Astuce mémo

Diviser par une fraction → multiplier par son inverse

📖 6. Calcul littéral fractionnaire

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour simplifier $\frac{6x}{10x}$, avec les facteurs communs non nuls, on obtient $\frac35$.

Compléments

📐 Formule — La somme $\frac x5+\frac{3x}8$ se réduit au même dénominateur et donne $\frac{23x}{40}$.

📐 Formule — Le produit $\frac{6x}{2y}\times\frac{4y}5$ se simplifie en $\frac{12x}5$.

📐 Formule — Le quotient $\frac{6x}{2y}\div\frac{4y}5$ se calcule en multipliant par l’inverse et vaut $\frac{15x}{4y^2}$.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les fractions