QCM : Rappels sur les fractions — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des égalités illustre correctement qu’un entier aa est un multiple de bb et que bb est un diviseur de aa ?

13=39×313=39\times3, donc 39 est un multiple de 13 et 13 divise 39
39=13−339=13-3, donc 39 est un multiple de 13 et 13 divise 39
39=13+339=13+3, donc 13 est un multiple de 39 et 39 divise 13
39=13×339=13\times3, donc 39 est un multiple de 13 et 13 divise 39

$$39=13\times3$$, donc 39 est un multiple de 13 et 13 divise 39

Explication

Une égalité de la forme a=kba=kb signifie que aa est le multiple obtenu et que bb est le diviseur utilisé dans le produit. Les autres égalités ne présentent pas une multiplication donnant 39 à partir de 13.

2. Qu'est-ce qu'un multiple d'un entier b ?

Un entier a est un multiple de b si a est supérieur à b.
Un entier a est un multiple de b s'il existe un entier k tel qu'a =k×= k \times b.
Un entier a est un multiple de b s'il est divisible par b sans reste.
Un entier a est un multiple de b si a est un diviseur de b.

Un entier a est un multiple de b s'il existe un entier k tel qu'a $$= k \\times$$ b.

Explication

Un multiple de b est un nombre qui peut s'écrire sous la forme k×k \times b, où k est un entier. La réponse 2 est une définition de divisibilité, pas de multiple.

3. Quel critère permet de déterminer si un nombre est divisible par 3 ou par 9 ?

Vérifier que son chiffre des unités est 0 ou 5
Examiner le nombre formé par ses deux derniers chiffres
Examiner le chiffre de ses unités pour voir s’il est pair ou impair
Calculer la somme de ses chiffres et vérifier sa divisibilité par 3 ou par 9

Calculer la somme de ses chiffres et vérifier sa divisibilité par 3 ou par 9

Explication

La divisibilité par 3 ou par 9 se détermine en calculant la somme des chiffres, puis en testant cette somme par 3 ou par 9. L’examen des deux derniers chiffres concerne le critère de divisibilité par 4.

4. Selon la définition, quand peut-on dire qu’un entier a est un multiple d’un entier b ?

a est un nombre premier si b est un diviseur de a.
a est divisible par b sans reste.
Il existe un entier k tel qu'a =k×= k \times b.
a est un diviseur de b.

Il existe un entier k tel qu'a $$= k \\times$$ b.

Explication

Un entier a est un multiple de b si l’on peut écrire a sous la forme a=k×a = k \times b, où k est un entier. La réponse qui correspond à cette définition est donc la première. La deuxième réponse est une reformulation correcte mais moins précise, tandis que les autres sont incorrectes.

5. Quelle propriété définit un nombre premier ?

C’est un entier positif qui possède au moins trois diviseurs positifs distincts
C’est un entier supérieur à 1 qui peut s’écrire comme une somme de deux nombres
C’est un entier pair dont le chiffre des unités vaut 2, 4, 6 ou 8
C’est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même

C’est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Avoir plusieurs diviseurs ou être pair ne suffit pas à définir un nombre premier.

6. Quel est le rôle principal d'une fraction irréductible dans la simplification des expressions fractionnaires ?

Elle est utilisée pour transformer une fraction en un nombre décimal sans reste.
Elle permet d'obtenir une forme la plus simple possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur.
Elle facilite la multiplication des fractions en évitant de réduire chaque terme séparément.
Elle sert uniquement à vérifier si une fraction peut être convertie en nombre entier.

Elle permet d'obtenir une forme la plus simple possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur.

Explication

Une fraction irréductible est celle dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1, ce qui permet de simplifier l'expression. La réduction par le plus grand commun diviseur est essentielle pour obtenir cette forme la plus simple.

7. Pour vérifier efficacement qu’un entier nn est premier, quelles divisions faut-il examiner ?

Les divisions par les seuls nombres pairs inférieurs ou égaux à nn
Les divisions par les nombres premiers strictement supérieurs à n\sqrt n
Les divisions par tous les entiers compris entre 1 et n−1n-1
Les divisions par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n\sqrt n

Les divisions par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $$\sqrt n$$

Explication

Il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à n\sqrt n, car un éventuel facteur non trivial entraîne l’existence d’un facteur au plus égal à cette racine. Tester tous les entiers jusqu’à n−1n-1 serait inutilement long, tandis que les autres ensembles ne permettent pas de conclure.

8. Quand une fraction est-elle considérée comme irréductible ?

Lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Lorsque la fraction ne peut pas être simplifiée davantage par division.
Lorsque le numérateur est un nombre premier.
Lorsque le dénominateur est un nombre premier.

Lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque le plus grand commun diviseur (PGCD) de son numérateur et de son dénominateur est 1. La réponse qui indique que le PGCD est 1 est donc correcte, contrairement aux autres qui évoquent des conditions insuffisantes ou incorrectes.

9. En quoi le quotient d'une fraction par une autre fraction diffère-t-il de leur produit ?

Le quotient conserve le dénominateur commun, alors que le produit ne le nécessite pas.
Le quotient ne peut pas être simplifié, contrairement au produit qui peut l'être.
Le quotient est toujours une fraction irréductible, alors que le produit ne l'est pas nécessairement.
Le quotient implique une division, tandis que le produit consiste en une multiplication des fractions.

Le quotient implique une division, tandis que le produit consiste en une multiplication des fractions.

Explication

Le quotient de deux fractions se calcule en multipliant la première par l'inverse de la seconde, ce qui diffère de la simple multiplication. La multiplication de fractions consiste à multiplier numérateurs et dénominateurs, sans inversion, ce qui en fait une opération différente.

10. Qui est crédité de la formulation de la règle permettant de simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun ?

Le mathématicien français Pierre-Simon Laplace
Le mathématicien italien Leonardo Fibonacci
Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss
Le mathématicien français Évariste Galois

Le mathématicien italien Leonardo Fibonacci

Explication

La règle de simplification des fractions en divisant par leur plus grand commun diviseur est attribuée à des mathématiciens comme Euclide, qui ont développé la théorie des nombres premiers et des diviseurs. Fibonacci a contribué à la popularisation des fractions en Europe, mais la formule spécifique de simplification est une avancée plus ancienne.

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Quelle condition définit un entier a multiple de b ?

Il existe un entier k tel que a=kba=kb.

Multiple et critère de divisibilité

Divise un entier si le reste est zéro.

Quand un entier est-il divisible par 2 ?

Si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

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