QCM : Rappels sur les fractions — 18 questions

Explication

L’égalité $a=kb$ signifie que $a$ s’obtient en multipliant $b$ par un entier, donc $a$ est un multiple de $b$ et $b$ divise $a$. La primalité ou l’égalité des valeurs absolues ne découle pas de cette relation.

Explication

La divisibilité par 4 se détermine à partir du nombre formé par les deux derniers chiffres. Le chiffre des unités suffit pour la divisibilité par 2, tandis que la somme des chiffres intervient pour 3 et 9.

Explication

Un nombre premier est un entier positif qui admet précisément 1 et lui-même comme diviseurs. Être divisible par deux nombres premiers distincts caractérise au contraire un nombre composé dans certains cas.

Explication

Le nombre 0 admet une infinité de diviseurs, tandis que 1 n’en possède qu’un, lui-même. Or un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs.

Explication

Un seul diviseur propre, différent de 1 et du nombre lui-même, suffit à établir que l’entier n’est pas premier. Tester les nombres premiers jusqu’à la valeur du nombre serait une démarche inutilement longue.

Explication

Il suffit de vérifier que $n$ n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt n$. Un éventuel diviseur plus grand serait alors associé à un diviseur plus petit déjà examiné.

Explication

Tout entier supérieur à 1 possède une décomposition unique en produit de nombres premiers. L’ordre d’écriture des facteurs peut varier sans modifier cette décomposition.

Explication

La méthode consiste à effectuer des divisions successives par des diviseurs premiers, en les prenant dans l’ordre croissant, jusqu’à ce que le quotient soit 1. Des diviseurs non premiers ne donnent pas directement une décomposition en facteurs premiers.

Explication

La décomposition correcte est $17\,550=2\times3^3\times5^2\times13$, avec les facteurs premiers et leurs exposants indiqués. Les autres produits modifient au moins l’exposant d’un facteur et ne valent donc pas $17\,550$.

Explication

Une fraction irréductible ne possède plus de facteur commun différent de 1 entre son numérateur et son dénominateur. Une fraction dont les deux termes sont premiers n’est pas la seule forme possible d’une fraction irréductible.

Explication

Diviser les deux termes par un même nombre non nul revient à utiliser $\frac{a\times c}{b\times c}=\frac ab$ et conserve donc la valeur de la fraction. Modifier un seul terme ou appliquer des opérations additives ne garantit pas cette conservation.

Explication

Pour une addition, il faut d’abord obtenir un dénominateur commun, puis additionner les numérateurs en conservant ce dénominateur. La multiplication des numérateurs et des dénominateurs correspond à une autre opération.

Explication

Avec un dénominateur commun, on soustrait les numérateurs et on garde ce dénominateur, d’où $\frac ad-\frac cd=\frac{a-c}d$. Le dénominateur ne se modifie pas pendant cette soustraction.

Explication

Dans un produit de fractions, les numérateurs se multiplient entre eux et les dénominateurs se multiplient entre eux. La recherche d’un dénominateur commun concerne l’addition ou la soustraction, pas le produit.

Explication

L’inverse de $\frac ab$ est $\frac ba$, car leur produit vaut 1. L’expression $-\frac ab$ est son opposé, et non son inverse.

Explication

La simplification porte sur des facteurs communs présents dans un produit au numérateur et au dénominateur, en vérifiant que le dénominateur n’est pas nul. Des termes additionnés ne se simplifient pas directement comme des facteurs.

Explication

Un facteur $x$ se simplifie entre le numérateur et le dénominateur, mais il reste un facteur $x$ au dénominateur, ce qui donne $\frac3{5x}$. La forme $\frac35$ correspondrait à $\frac{6x}{10x}$, où les puissances de $x$ sont identiques.

Explication

Les dénominateurs 5 et 8 doivent être transformés en un dénominateur commun, ici 40, avant l’addition. Cette méthode conduit à $\frac{23x}{40}$; le facteur $x$ ne peut pas être supprimé puisqu’il n’est pas commun aux dénominateurs.