Fiche de révision : Rappels sur les fractions

📋 Plan du Cours

1. Multiples et critères de divisibilité
2. Nombres premiers
3. Décomposition en facteurs premiers
4. Fractions irréductibles
5. Opérations sur les fractions
6. Écritures fractionnaires littérales

📖 1. Multiples et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers relatifs a et b, s’il existe un entier relatif k tel que $a=kb$, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

Compléments

• Comme $39=13\times3$, 39 est un multiple de 13, 13 est un diviseur de 39 et 39 est divisible par 13.

💡 Astuce mémo

Les critères 2-3-4-5-9-10

📖 2. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs, et 1 n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur.

• Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit de trouver un diviseur autre que 1 et lui-même.

📌 Pour montrer qu’un entier n est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt n$.

Compléments

• Comme $\sqrt{139}\approx11{,}79$ et que 139 n’est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5, 7 et 11, 139 est premier.

💡 Astuce mémo

Tester les nombres premiers jusqu’à √n

📖 3. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Tout nombre entier supérieur à 1 peut s’écrire de façon unique comme produit de nombres premiers.

📝 Points essentiels

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on le divise successivement par ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant jusqu’à obtenir 1.

• La décomposition de 17 550 en facteurs premiers est $17\,550=2\times3^3\times5^2\times13$.

💡 Astuce mémo

Diviser par les premiers dans l’ordre croissant

📖 4. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun différent de 1.

★ À maîtriser

📌 Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul, ce qui revient à utiliser $\frac{a\times c}{b\times c}=\frac ab$.

Compléments

• La fraction $\frac4{14}$ se simplifie en $\frac27$ en divisant le numérateur et le dénominateur par 2.

💡 Astuce mémo

Facteurs communs : fraction réductible ; aucun facteur commun : irréductible

📖 5. Opérations sur les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut 1, et l’inverse de $\frac ab$, avec a et b non nuls, est $\frac ba$.

📝 Points essentiels

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d’abord les réduire au même dénominateur, puis additionner ou soustraire les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

📐 Formule — Avec un dénominateur commun d, on a $\frac ad+\frac cd=\frac{a+c}d$ et $\frac ad-\frac cd=\frac{a-c}d$.

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}$.

📌 Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse, donc $\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, multiplier, puis inverser pour diviser

📖 6. Écritures fractionnaires littérales

★ À maîtriser

📌 Dans une fraction littérale, on peut simplifier uniquement des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, sous réserve que les expressions au dénominateur soient non nulles.

• Pour $x\ne0$, la fraction $\frac{6x}{10x}$ se simplifie en $\frac35$, tandis que $\frac{6x}{10x^2}$ se simplifie en $\frac3{5x}$.

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions littérales, on les réduit au même dénominateur comme pour les fractions numériques.

Compléments

• L’expression $\frac x5+\frac{3x}8$ se réduit à $\frac{23x}{40}$.

• Le produit $\frac{6x}{2y}\times\frac{4y}{5}$ se simplifie en $\frac{12x}{5}$, tandis que le quotient $\frac{6x}{2y}\div\frac{4y}{5}$ vaut $\frac{15x}{4y^2}$.

📊 Tableaux de synthèse

Règles des opérations fractionnaires