Fiche de révision : Électromagnétisme et opérateurs vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Équations et portée de Maxwell
2. Champs physiques et lignes de champ
3. Gradient et potentiels
4. Champs conservateurs et énergie
5. Flux et divergence
6. Rotationnel et circulation locale

📖 1. Équations et portée de Maxwell

★ À maîtriser

📐 Formule — Les équations de Maxwell s’écrivent $\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$, $\operatorname{div}\vec B=0$, $\operatorname{rot}\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$ et $\frac{\operatorname{rot}\vec B}{\mu_0}=\vec j+\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$.

📐 Formule — La vitesse de toutes les ondes électromagnétiques dans le vide est $\left(\varepsilon_0\mu_0\right)^{-1/2}=3\times10^8\ \mathrm{m/s}$.

Compléments

• Dans le vide strict, la densité de charge vérifie $\rho=0\ \mathrm{Coulomb/m^3}$ et la norme de la densité de courant vérifie $\|\vec j\|=0\ \mathrm{Ampère/m^2}$ en tout point, mais ce vide absolu est un modèle qui n’existe pas réellement.

• Les équations de Maxwell permettent de décrire la propagation d’une onde dans un milieu, les bilans d’énergie aux interfaces et l’émission ou la réception par une antenne.

💡 Astuce mémo

Sources électriques → flux magnétique nul → induction → courant et déplacement

📖 2. Champs physiques et lignes de champ

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ physique : La donnée, pour chaque point de l’espace-temps, de la valeur d’une grandeur physique scalaire ou vectorielle.
• Ligne de champ : B.Stout — Une courbe dans l’espace telle que le champ vectoriel soit tangent à la courbe en chacun de ses points.

📝 Points essentiels

• Un champ vectoriel électrique s’écrit $\vec E(x,y,z,t)=E_x(x,y,z,t)\vec u_x+E_y(x,y,z,t)\vec u_y+E_z(x,y,z,t)\vec u_z$, où chaque composante est un champ scalaire.

💡 Astuce mémo

Une carte colorée donne l’amplitude, des lignes donnent la direction

📖 3. Gradient et potentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Le champ vectoriel défini par $\operatorname{grad}V(M)\cdot d\vec l=dV(M)$.
• Circulation : La circulation d’un champ vectoriel $\vec f$ sur un contour allant de A à B est $\int_A^B\vec f(M)\cdot d\vec l$ et constitue un nombre scalaire.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, le gradient vaut $\operatorname{grad}V=\frac{\partial V}{\partial x}\vec u_x+\frac{\partial V}{\partial y}\vec u_y+\frac{\partial V}{\partial z}\vec u_z$.

📐 Formule — La variation d’un champ scalaire entre deux points vérifie $V(B)-V(A)=\int_A^B\operatorname{grad}V(M)\cdot d\vec l$.

💡 Astuce mémo

Gradient connu → variation spatiale calculable par circulation

📖 4. Champs conservateurs et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ conservateur : Lorsqu’il dérive d’un champ scalaire, ce qui rend sa circulation indépendante du chemin choisi.

📝 Points essentiels

• Le champ électrostatique est conservateur et sa circulation sur tout contour fermé est nulle.

📐 Formule — La force électrique exercée sur une particule de charge q dans un champ électrique est $\vec F=q\vec E$.

📐 Formule — Le potentiel électrostatique est relié à l’énergie potentielle par $V(M)=\frac{E_p(M)}{q}$ et s’exprime en volts, avec $1\ \mathrm{V}=1\ \mathrm{J/C}$.

💡 Astuce mémo

Électrostatique : circulation indépendante du chemin ; régime dynamique : chemin dépendant

📖 5. Flux et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux : Le flux élémentaire d’un champ vectoriel à travers une surface élémentaire est $d\Phi=\vec E(M)\cdot d\vec S$, et le flux total est obtenu par intégration sur la surface.
• Divergence : Le flux sortant d’une surface élémentaire fermée par unité de volume et constitue un champ scalaire.

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, la divergence du champ $\vec E$ vaut $\operatorname{div}\vec E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$.

Compléments

• Pour un champ de vitesse, le flux à travers une surface représente le débit volumique du liquide en mètres cubes par seconde.

💡 Astuce mémo

Flux sortant d’un petit volume → divergence locale

📖 6. Rotationnel et circulation locale

🔑 Notions clés & Définitions

• Rotationnel : Le champ vectoriel défini localement par la circulation du champ autour d’une petite surface et quantifie sa rotation locale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le rotationnel vérifie $\operatorname{rot}\vec E(M)\cdot d\vec S=\oint\vec E(M')\cdot d\vec l$.

Compléments

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, le rotationnel s’écrit $\operatorname{rot}\vec E=\operatorname{grad}\wedge\vec E$.

💡 Astuce mémo

Le rotationnel est une petite hélice locale orientée selon son axe

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des opérateurs vectoriels