Fiche de révision : Rappels sur les suites

📋 Plan du Cours

1. Modes de génération des suites
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Monotonie des suites

📖 1. Modes de génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Fonction u définie de ℕ vers ℝ, qui associe à tout entier naturel n le nombre u(n), noté uₙ ; uₙ est le terme de rang n ou le terme général de la suite.
• Relation de récurrence : Relation qui, avec un premier terme, permet de calculer chaque terme à partir du précédent, sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.

★ À maîtriser

📌 Une suite est définie explicitement lorsque chaque terme se calcule directement en fonction de n, sous la forme $u_n=f(n)$.

Compléments

• Pour la suite définie par $U_0=3$ et $U_{n+1}=2U_n+10$, on obtient $U_1=16$ puis $U_2=42$ en itérant la fonction affine $f(x)=2x+10$.

💡 Astuce mémo

Explicite : n → terme ; récurrence : terme précédent → terme suivant

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite (uₙ) qui, pour un réel r appelé raison, vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout n ∈ ℕ.
• Suite géométrique : Suite (uₙ) qui, pour un réel q appelé raison, vérifie $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout n ∈ ℕ.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, $u_n=u_p+(n-p)r$ et, en particulier, $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, $u_n=u_p\times q^{n-p}$ et, en particulier, $u_n=u_0\times q^n$.

Compléments

• La suite définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=U_n+7$ est arithmétique de raison 7 et vérifie $U_{100}=701$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 3. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite définie à partir du rang n₀ telle que, pour tout n ≥ n₀, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Suite définie à partir du rang n₀ telle que, pour tout n ≥ n₀, $u_n\geq u_{n+1}$.

★ À maîtriser

• Pour étudier la monotonie d'une suite, on peut déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 lorsque cette comparaison est définie.

Compléments

• La suite définie sur ℕ par $U_n=\frac{2n}{n+2}$ est croissante car $U_{n+1}-U_n=\frac{4}{(n+3)(n+2)}\geq0$ pour tout n ∈ ℕ.

• Si une suite est définie par $u_n=f(n)$ et si f est croissante sur [n₀,+∞[, alors la suite est croissante ; si f est décroissante sur cet intervalle, alors la suite est décroissante.

• La suite définie sur ℕ* par $u_n=\frac{(-1)^n}{n}$ n'est ni croissante ni décroissante, car $u_1=-1$, $u_2=\frac12$ et $u_3=-\frac13$.

💡 Astuce mémo

Signe de uₙ₊₁ − uₙ → sens de variation

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques