QCM : Rappels sur les suites — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme caractérise une suite définie explicitement ?

Chaque terme se calcule directement à partir de l’indice n, sous la forme un=f(n)u_n=f(n)
Chaque terme se calcule à partir du terme précédent, sous la forme un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
Chaque terme s’obtient en ajoutant une constante au terme précédent
Chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante

Chaque terme se calcule directement à partir de l’indice n, sous la forme $$u_n=f(n)$$

Explication

Une définition explicite donne directement le terme général en fonction de l’indice n. La relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) décrit au contraire une définition par récurrence.

2. Pour la suite définie par U0=3U_0=3 et Un+1=2Un+10U_{n+1}=2U_n+10, quelle est la valeur de U2U_2 ?

29
52
42
36

42

Explication

On calcule successivement U1=2×3+10=16U_1=2\times3+10=16, puis U2=2×16+10=42U_2=2\times16+10=42. La valeur 36 correspondrait à une application incorrecte de la relation au premier terme sans obtenir correctement U1U_1.

3. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

un+1=r×unu_{n+1}=r\times u_n
un+1=un+rnu_{n+1}=u_n+r^n
un+1=unru_{n+1}=u_n^r
un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la même raison r au terme précédent. La multiplication par r caractérise une suite géométrique, et les deux autres relations ne définissent pas ce type de suite.

4. Une suite géométrique vérifie u0=5u_0=5 et possède pour raison q=2q=2. Quelle expression donne son terme de rang n ?

un=5+2nu_n=5+2n
un=5×n2u_n=5\times n^2
un=5n2u_n=5n^2
un=5×2nu_n=5\times2^n

$$u_n=5\times2^n$$

Explication

Pour une suite géométrique, le terme général s’écrit un=u0×qnu_n=u_0\times q^n, ce qui donne ici un=5×2nu_n=5\times2^n. L’expression 5+2n5+2n utilise une multiplication par l’indice et correspondrait à une forme arithmétique.

5. Quelle est la définition d'une suite en mathématiques ?

Une fonction qui associe à chaque entier naturel un nombre réel.
Une formule qui permet de calculer un seul terme de la suite.
Une relation entre deux variables indépendantes.
Une suite est une fonction définie de ℕ vers ℝ, associant à chaque n un terme u(n).

Une suite est une fonction définie de ℕ vers ℝ, associant à chaque n un terme u(n).

Explication

Une suite est une fonction qui, pour chaque entier naturel n, associe un nombre réel u(n). La réponse incorrecte qui pourrait prêter à confusion est la première, qui est trop vague, mais la définition précise est celle qui mentionne la fonction de ℕ vers ℝ.

6. Quelle formule explicite permet de calculer le terme général unu_n d'une suite arithmétique de raison rr ?

un=up×qn−pu_n=u_p \times q^{n-p}
un=u0×qnu_n=u_0 \times q^n
un=u0+nru_n=u_0+nr
un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r

$$u_n=u_0+nr$$

Explication

La formule un=u0+nru_n=u_0+nr donne le terme général d'une suite arithmétique de raison rr. La formule un=u0×qnu_n=u_0 \times q^n concerne une suite géométrique, et les autres formules sont pour des suites définies par relation de récurrence.

7. Quel est le rôle principal d'une relation de récurrence dans la définition d'une suite ?

Elle permet de calculer chaque terme à partir du terme précédent.
Elle sert uniquement à vérifier la monotonie de la suite.
Elle définit la suite en fonction de n sans référence au terme précédent.
Elle donne directement la formule explicite du terme général.

Elle permet de calculer chaque terme à partir du terme précédent.

Explication

Une relation de récurrence permet de déterminer chaque terme de la suite en fonction du terme qui le précède. Contrairement à la formule explicite, elle ne donne pas directement le terme général, mais une méthode pour le calculer étape par étape.

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Qu'est-ce qu'une suite en mathématiques ?

Une fonction de ℕ vers ℝ associant à n le terme uₙ.

Comment calcule-t-on un terme dans une suite définie par récurrence ?

On calcule chaque terme à partir du précédent avec un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).

Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r pour tout n ∈ Nn \,\in\, \mathbb{N}.

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