QCM : Suites et raisonnement par récurrence — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on une suite numérique et comment note-t-on son terme de rang nn ?

Comme une fonction de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N}, avec un=n(u)u_n=n(u)
Comme une fonction de N\mathbb{N} vers N\mathbb{N}, avec un=u+nu_n=u+n
Comme une fonction de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R}, avec un=u−nu_n=u-n
Comme une fonction de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}, avec un=u(n)u_n=u(n)

Comme une fonction de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$, avec $$u_n=u(n)$$

Explication

Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels et à valeurs réelles, son terme de rang nn étant noté u(n)u(n) ou unu_n. Les autres propositions modifient soit l’ensemble de départ, soit celui d’arrivée, soit la notation du terme.

2. Quelle propriété caractérise une suite définie explicitement ?

Chaque terme se calcule directement à partir de son rang par une formule un=f(n)u_n=f(n)
Chaque terme est défini par le quotient entre deux rangs consécutifs
Chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au rang précédent
Chaque terme se calcule à partir du précédent par une formule un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)

Chaque terme se calcule directement à partir de son rang par une formule $$u_n=f(n)$$

Explication

Une définition explicite donne directement unu_n en fonction de nn grâce à une expression comme un=f(n)u_n=f(n). La relation faisant intervenir unu_n pour obtenir un+1u_{n+1} correspond à une définition par récurrence.

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite définie par récurrence, quelles données sont nécessaires ?

Un premier terme et une relation exprimant un+1u_{n+1} en fonction de unu_n
Deux termes quelconques et une relation entre leurs rangs
La valeur du dernier terme et une relation exprimant unu_n en fonction de n+1n+1
Une formule donnant directement chaque terme en fonction de nn

Un premier terme et une relation exprimant $$u_{n+1}$$ en fonction de $$u_n$$

Explication

Une relation de récurrence associe un premier terme à une règle du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) afin de construire chaque terme à partir du précédent. Elle ne fournit donc pas directement unu_n en fonction de nn, contrairement à une formule explicite.

4. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison rr ?

Pour tout nn, un+1=runu_{n+1}=r u_n
Pour tout nn, un=un+1+ru_n=u_{n+1}+r
Pour tout nn, un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r
Pour tout nn, un+1=unru_{n+1}=u_n^r

Pour tout $$n$$, $$u_{n+1}=u_n+r$$

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient le terme suivant en ajoutant la même constante rr au terme courant. La multiplication par une constante caractérise plutôt une suite géométrique.

5. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison qq ?

Pour tout nn, un=q+nun+1u_n=q+n u_{n+1}
Pour tout nn, un+1=q×unu_{n+1}=q\times u_n
Pour tout nn, un+1=un+qu_{n+1}=u_n+q
Pour tout nn, un+1=unqu_{n+1}=u_n^q

Pour tout $$n$$, $$u_{n+1}=q\times u_n$$

Explication

Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par la même raison qq pour obtenir le suivant. L’ajout d’une constante correspond à la définition d’une suite arithmétique.

6. Quelle condition traduit qu’une suite définie à partir du rang n0n_0 est croissante ?

un≥un+1u_n\geq u_{n+1} pour tout n≥n0n\geq n_0
un≤un+1u_n\leq u_{n+1} pour tout n≥n0n\geq n_0
un+1=unu_{n+1}=u_n pour tout n≥n0n\geq n_0
un<un0u_n<u_{n_0} pour tout n≥n0n\geq n_0

$$u_n\leq u_{n+1}$$ pour tout $$n\geq n_0$$

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au terme qui le suit, c’est-à-dire un≤un+1u_n\leq u_{n+1} à partir de n0n_0. L’inégalité inverse caractérise une suite décroissante, tandis que l’égalité impose une suite constante.

7. Quelle condition permet d’affirmer qu’une suite définie à partir du rang n0n_0 est décroissante ?

un≤un+1u_n\leq u_{n+1} pour tout n≥n0n\geq n_0
un≥un+1u_n\geq u_{n+1} pour tout n≥n0n\geq n_0
un>un0u_n>u_{n_0} pour tout n≥n0n\geq n_0
un+1=un+1u_{n+1}=u_n+1 pour tout n≥n0n\geq n_0

$$u_n\geq u_{n+1}$$ pour tout $$n\geq n_0$$

Explication

Une suite est décroissante lorsque chaque terme est supérieur ou égal au suivant, donc lorsque un≥un+1u_n\geq u_{n+1} pour tout n≥n0n\geq n_0. L’inégalité opposée décrit une suite croissante.

8. Quelle méthode permet d’étudier la monotonie d’une suite lorsque le quotient est défini ?

Calculer seulement le premier terme et le dernier terme connus
Comparer chaque terme à nn sans examiner le terme suivant
Comparer un+un+1u_n+u_{n+1} à 11 pour chaque rang
Étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n ou comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11

Étudier le signe de $$u_{n+1}-u_n$$ ou comparer $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ à $$1$$

Explication

La différence un+1−unu_{n+1}-u_n donne directement le sens de variation par son signe, et le quotient peut être comparé à 11 lorsque un≠0u_n\neq0. Le quotient n’est donc pas utilisable sans condition, contrairement à l’étude de la différence.

9. Soit un=f(n)u_n=f(n) pour n≥n0n\geq n_0. Que peut-on déduire si ff est décroissante sur [n0,+∞[[n_0,+\infty[ ?

La suite (un)\left(u_n\right) alterne nécessairement entre deux valeurs
La suite (un)\left(u_n\right) est constante à partir du rang n0n_0
La suite (un)\left(u_n\right) est décroissante à partir du rang n0n_0
La suite (un)\left(u_n\right) est croissante à partir du rang n0n_0

La suite $$\left(u_n\right)$$ est décroissante à partir du rang $$n_0$$

Explication

Lorsque la fonction ff est décroissante sur l’intervalle considéré, ses valeurs aux entiers successifs diminuent ou restent égales, donc la suite un=f(n)u_n=f(n) est décroissante. La croissance de ff entraînerait au contraire la croissance de la suite, sans imposer une alternance ni une constance.

10. Laquelle des propositions décrit correctement une propriété mathématique ?

Une phrase avec un verbe, pouvant être vraie ou fausse
Une égalité dépourvue de valeur de vérité déterminée
Une suite de symboles représentant une opération à effectuer
Un nombre accompagné d’une unité et d’une notation

Une phrase avec un verbe, pouvant être vraie ou fausse

Explication

Une propriété mathématique est une phrase contenant un verbe, avec ou sans symboles, et possède une valeur de vérité : elle est vraie ou fausse. Une simple expression mathématique, comme une opération à effectuer, ne constitue pas un énoncé soumis à cette distinction.

11. Laquelle des expressions suivantes n’est pas une propriété mathématique parce qu’elle ne forme pas un énoncé ?

x+3x+3
x+3=7x+3=7
Tout entier pair est divisible par 22
Le nombre 55 est supérieur à 22

$$x+3$$

Explication

x+3x+3 est une expression mathématique dépourvue de verbe et ne peut donc pas être déclarée vraie ou fausse. Les autres propositions sont des phrases mathématiques auxquelles on peut attribuer une valeur de vérité.

12. Quelles sont les trois étapes nécessaires pour démontrer qu’une propriété P(n)P(n) est vraie pour tout entier naturel nn ?

La définition, le calcul et la vérification
L’initialisation, l’hérédité et la conclusion
La conjecture, la factorisation et la synthèse
La comparaison, la substitution et l’approximation

L’initialisation, l’hérédité et la conclusion

Explication

Un raisonnement par récurrence comprend une initialisation, une étape d’hérédité et une conclusion. La vérification d’un rang de départ ne suffit pas à établir le passage vers les rangs suivants.

13. Une propriété P(n)P(n) devient vraie à partir du rang 55, mais n’est pas vraie pour les rangs inférieurs : comment appliquer le raisonnement par récurrence ?

Vérifier plusieurs rangs sans établir le passage au suivant
Initialiser au rang 55, puis établir l’hérédité pour les rangs suivants
Commencer au rang 00 en supposant la propriété vraie à ce rang
Modifier la propriété pour la rendre vraie dès le rang 00

Initialiser au rang $$5$$, puis établir l’hérédité pour les rangs suivants

Explication

Le principe de récurrence peut commencer à un rang supérieur à 00 : on vérifie alors la propriété au rang 55, puis on démontre son hérédité pour les rangs suivants. Vérifier plusieurs valeurs isolées ne remplace pas la démonstration du passage d’un rang au suivant.

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Mémorisez les réponses avec 21 flashcards sur Suites et raisonnement par récurrence.

Qu'est-ce qu'une suite en mathématiques ?

Une fonction définie sur ℕ à valeurs dans ℝ.

Comment est noté le terme de rang n d'une suite u ?

Par uₙ = u(n).

Quand une suite est-elle définie explicitement ?

Lorsqu'uₙ = f(n) permet de calculer directement chaque terme.

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