Fiche de révision : Suites et raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et génération des suites
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Variation et monotonie des suites
4. Propriétés mathématiques
5. Principe du raisonnement par récurrence

📖 1. Définition et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Fonction u définie sur ℕ à valeurs dans ℝ, dont le terme de rang n est noté uₙ = u(n).
• Relation de récurrence : Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu’un premier terme et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ) permettent de calculer chaque terme à partir du précédent.

📝 Points essentiels

📌 Une suite est définie explicitement lorsque uₙ = f(n), ce qui permet de calculer directement n’importe quel terme en fonction de n.

💡 Astuce mémo

Explicite : directement par n ; récurrence : terme par terme.

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite (uₙ) est arithmétique s’il existe un réel r tel que uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n ∈ ℕ, où r est sa raison.
• Suite géométrique : Une suite (uₙ) est géométrique s’il existe un réel q tel que uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n ∈ ℕ, où q est sa raison.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, on a $u_n = u_p + (n-p)r$ et, en particulier, $u_n = u_0 + nr$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, on a $u_n = u_p \times q^{n-p}$ et, en particulier, $u_n = u_0 \times q^n$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 3. Variation et monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite définie à partir du rang n₀ vérifiant uₙ ≤ uₙ₊₁ pour tout entier n ≥ n₀.
• Suite décroissante : Suite définie à partir du rang n₀ vérifiant uₙ ≥ uₙ₊₁ pour tout entier n ≥ n₀.

★ À maîtriser

• Pour étudier la monotonie d’une suite, on peut déterminer le signe de uₙ₊₁ − uₙ ou comparer le quotient uₙ₊₁/uₙ à 1 lorsque cette comparaison est définie.

📌 Si f est croissante sur [n₀,+∞[, alors la suite définie par uₙ = f(n) pour n ≥ n₀ est croissante, et si f est décroissante sur cet intervalle, la suite est décroissante.

Compléments

• La suite définie sur ℕ* par uₙ = (-1)ⁿ/n n’est ni croissante ni décroissante, car u₁ = -1, u₂ = 1/2 et u₃ = -1/3.

💡 Astuce mémo

Signe de uₙ₊₁−uₙ → sens de variation de la suite.

📖 4. Propriétés mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : Phrase contenant un verbe, avec ou sans symboles mathématiques, qui est vraie ou fausse.

📖 5. Principe du raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n, on réalise l’initialisation, l’hérédité puis la conclusion.

Compléments

📌 Le principe de récurrence fonctionne également lorsque la propriété n’est pas vraie au rang 0 mais devient vraie à partir d’un rang plus grand.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques