Fiche de révision : Rappels sur les suites

📋 Plan du Cours

1. Définition et calcul des suites
2. Algorithmes et problèmes de seuil
3. Variations des suites
4. Suites arithmétiques
5. Suites géométriques et transformation

📖 1. Définition et calcul des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : Une suite est définie par une forme explicite lorsque son terme général s’exprime directement en fonction de n, selon la relation $u_n=f(n)$.
• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence lorsque son premier terme est donné et que chaque terme s’exprime en fonction du précédent, selon $u_{n+1}=f(u_n)$.

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par $u_n=\frac{3n^2}{1-n}$ pour n≥2, on obtient $u_2=-12$ et $u_3=-\frac{27}{2}$.

• Pour la suite définie par $v_0=3$ et $v_{n+1}=5v_n-2$, les deux premiers termes calculés sont $v_1=13$ et $v_2=63$.

💡 Astuce mémo

Forme explicite : n → u_n ; récurrence : terme précédent → terme suivant

📖 2. Algorithmes et problèmes de seuil

★ À maîtriser

• Pour calculer un terme d’une suite définie par récurrence, on initialise le terme connu, on répète la relation de récurrence jusqu’au rang demandé, puis on affiche le résultat.

• Pour la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=2u_n-1$, on a $u_7=129<200$ et $u_8=257\geq200$.

📌 Pour déterminer le plus petit rang tel que $u_n\geq200$, on initialise u et n, puis on répète la relation tant que $u<200$ avant d’afficher n.

Compléments

• Pour produire une liste de termes d’une suite récurrente, on initialise une liste avec le premier terme, on calcule chaque terme suivant et on l’ajoute à la liste.

💡 Astuce mémo

Initialiser → répéter → afficher

📖 3. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout entier n, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante lorsque, pour tout entier n, $u_n\geq u_{n+1}$.

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une suite, on peut calculer le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou, si $u_n=f(n)$, étudier les variations de f sur $[0,+\infty[$.

Compléments

📌 Une suite est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante, tandis qu’une suite constante vérifie $u_n=u_{n+1}$ pour tout n.

📌 Pour la suite définie par $u_{n+1}=u_n+n^2+2$, on a $u_{n+1}-u_n=n^2+2>0$, donc la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

u_{n+1}−u_n > 0 : croissante ; u_{n+1}−u_n < 0 : décroissante

📖 4. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite vérifiant $u_{n+1}=u_n+r$, où r est la raison ajoutée pour passer d’un terme au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le terme général d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+rn$, ou encore $u_n=u_p+r(n-p)$.

• La somme des termes d’une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.

Compléments

📐 Formule — La somme des entiers de 1 à n est $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance à pas constants de raison r

📖 5. Suites géométriques et transformation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite vérifiant $u_{n+1}=qu_n$, où q est la raison utilisée pour multiplier un terme afin d’obtenir le suivant.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le terme général d’une suite géométrique est $u_n=u_0q^n$, ou encore $u_n=u_pq^{n-p}$.

📐 Formule — La somme géométrique $1+q+q^2+\cdots+q^n$ vaut $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Pour transformer la suite définie par $u_0=900$ et $u_{n+1}=1{,}2u_n-100$, on pose $v_n=u_n-500$, puis on obtient $v_{n+1}=1{,}2v_n$.

📐 Formule — Dans l’exemple précédent, $v_0=400$ et $v_n=400\times1{,}2^n$, donc $u_n=400\times1{,}2^n+500$.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique grandit par agrandissement successif de facteur q

📊 Tableaux de synthèse

Comparer les suites arithmétiques et géométriques