QCM : Rappels sur les suites — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation caractérise une suite définie par une forme explicite ?

Son premier terme est fixé puis chaque terme dépend du précédent.
Son terme général s’écrit directement en fonction de nn.
Les termes sont calculés dans une liste à partir d’une valeur initiale.
Chaque terme est obtenu en additionnant une constante au précédent.

Son terme général s’écrit directement en fonction de $$n$$.

Explication

Une forme explicite donne directement le terme général sous la forme un=f(n)u_n=f(n). La dépendance entre deux termes successifs correspond plutôt à une définition par récurrence.

2. Quelle information est indispensable pour définir une suite par récurrence ?

Une liste complète contenant tous les termes de la suite.
Une formule donnant chaque terme directement en fonction de son rang.
La valeur d’un premier terme et une relation reliant deux termes successifs.
La valeur du dernier terme et une relation reliant les rangs successifs.

La valeur d’un premier terme et une relation reliant deux termes successifs.

Explication

Une définition par récurrence nécessite un terme initial ainsi qu’une relation telle que un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). Une formule directe en fonction de nn relève de la forme explicite et ne fournit pas cette procédure successive.

3. Pour calculer un terme précis d’une suite définie par récurrence, quelle procédure algorithmique convient ?

Initialiser une liste vide, calculer tous les termes précédents, puis afficher la liste complète.
Initialiser le terme connu, répéter la relation jusqu’au rang demandé, puis afficher le résultat.
Afficher le terme initial, modifier son rang, puis interrompre le calcul avant la récurrence.
Choisir le rang demandé, appliquer une seule fois la relation, puis afficher le terme obtenu.

Initialiser le terme connu, répéter la relation jusqu’au rang demandé, puis afficher le résultat.

Explication

Le calcul d’un terme précis consiste à partir du terme connu et à appliquer la récurrence jusqu’au rang voulu. La conservation de tous les résultats dans une liste correspond à un autre objectif algorithmique.

4. Pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=2un−1u_{n+1}=2u_n-1, quel est le plus petit rang vérifiant un≥200u_n\geq200 ?

Le rang 88, car u8=257u_8=257 tandis que u7=129u_7=129.
Le rang 99, car il faut deux étapes après u7u_7.
Le rang 66, car la relation double presque la valeur précédente.
Le rang 77, car u7=129u_7=129 dépasse déjà le seuil.

Le rang $$8$$, car $$u_8=257$$ tandis que $$u_7=129$$.

Explication

Les valeurs indiquées sont u7=129<200u_7=129<200 et u8=257≥200u_8=257\geq200, donc le premier rang qui atteint le seuil est 88. Le rang 77 est insuffisant puisque son terme reste inférieur à 200200.

5. Dans un algorithme cherchant le plus petit rang tel que un≥200u_n\geq200, quelle condition doit contrôler la boucle ?

Répéter la récurrence tant que u≥200u\geq200, puis afficher le rang précédent.
Répéter la récurrence tant que le rang reste nul, puis afficher la première valeur.
Répéter la récurrence tant que u<200u<200, puis afficher le rang obtenu.
Répéter la récurrence jusqu’à ce que n<200n<200, puis afficher le terme calculé.

Répéter la récurrence tant que $$u<200$$, puis afficher le rang obtenu.

Explication

La boucle doit continuer tant que le terme courant est inférieur au seuil, afin de s’arrêter dès que u≥200u\geq200. Tester la condition inverse arrêterait le processus avant d’avoir atteint le seuil recherché.

6. Quelle inégalité caractérise une suite croissante ?

Pour tout nn, un≥un+1u_n\geq u_{n+1}.
Pour tout nn, un≤un+1u_n\leq u_{n+1}.
Pour tout nn, un+un+1≤0u_n+u_{n+1}\leq0.
Pour tout nn, un=un+1+1u_n=u_{n+1}+1.

Pour tout $$n$$, $$u_n\leq u_{n+1}$$.

Explication

Une suite croissante vérifie un≤un+1u_n\leq u_{n+1} pour chaque entier nn. L’inégalité opposée caractérise une suite décroissante.

7. Quelle méthode permet d’étudier les variations d’une suite définie par un=f(n)u_n=f(n) ?

Calculer le quotient un÷un+1u_n\div u_{n+1} pour déterminer le signe de la suite.
Comparer chaque terme à zéro sans examiner les rangs successifs.
Remplacer la fonction ff par sa valeur au premier rang uniquement.
Étudier les variations de la fonction ff sur [0,+∞[[0,+\infty[.

Étudier les variations de la fonction $$f$$ sur $$[0,+\infty[$$.

Explication

Lorsque un=f(n)u_n=f(n), l’étude des variations de la suite peut se ramener à celle de ff sur [0,+∞[[0,+\infty[. Le signe des termes ou leur quotient ne constitue pas la méthode générale donnée ici.

8. Pourquoi la suite définie par un+1=un+n2+2u_{n+1}=u_n+n^2+2 est-elle croissante ?

Parce que un+1−un=n2−2<0u_{n+1}-u_n=n^2-2<0 pour tout nn.
Parce que un+1+un=n2+2>0u_{n+1}+u_n=n^2+2>0 pour tout nn.
Parce que un+1−un=n2+2>0u_{n+1}-u_n=n^2+2>0 pour tout nn.
Parce que un+1=unu_{n+1}=u_n lorsque le rang devient suffisamment grand.

Parce que $$u_{n+1}-u_n=n^2+2>0$$ pour tout $$n$$.

Explication

La différence entre deux termes successifs vaut n2+2n^2+2, qui est positive pour tout entier nn, donc chaque terme est supérieur au précédent. Une somme positive ne permet pas, à elle seule, de conclure sur le sens de variation.

9. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison rr ?

un+1=runu_{n+1}=ru_n
un+1=un−rnu_{n+1}=u_n-r^n
un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r
un+1=unru_{n+1}=u_n^r

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Explication

Une suite arithmétique est obtenue en ajoutant la même raison rr à chaque terme pour former le suivant. La relation un+1=runu_{n+1}=ru_n décrit plutôt une suite géométrique de raison multiplicative.

10. Comment calcule-t-on la somme des termes d’une suite arithmétique allant du premier terme au dernier terme ?

En additionnant la raison au dernier terme puis en divisant par deux
En multipliant le nombre de termes par la différence des termes extrêmes
En multipliant le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme
En multipliant le premier terme par la raison élevée au nombre de termes

En multipliant le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme

Explication

La somme arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne des deux termes extrêmes. La formule fondée sur une puissance concerne une somme géométrique, pas une suite arithmétique.

11. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison qq ?

un+1=un−qnu_{n+1}=u_n-q^n
un+1=unqu_{n+1}=u_n^q
un+1=un+qu_{n+1}=u_n+q
un+1=qunu_{n+1}=qu_n

$$u_{n+1}=qu_n$$

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par la raison qq. L’ajout de qq décrirait une suite arithmétique, dont la variation est additive.

12. Une suite géométrique vérifie u0=5u_0=5 et a pour raison q=2q=2. Quelle expression donne son terme général ?

un=5+2nu_n=5+2n
un=5×n2u_n=5\times n^2
un=2×5nu_n=2\times5^n
un=5×2nu_n=5\times2^n

$$u_n=5\times2^n$$

Explication

Le terme général d’une suite géométrique s’écrit un=u0qnu_n=u_0q^n, donc ici 5×2n5\times2^n. L’expression 5+2n5+2n repose sur l’ajout répété d’une raison et relève d’une suite arithmétique.

13. Quelle expression représente la somme 1+q+q2+⋯+qn1+q+q^2+\cdots+q^n lorsque q≠1q\ne1 ?

1+qn+11+q\frac{1+q^{n+1}}{1+q}
1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
qn+1−1q\frac{q^{n+1}-1}{q}
1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Explication

La somme géométrique comprenant les puissances de qq jusqu’à qnq^n vaut 1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. L’exposant doit être n+1n+1, car la somme contient n+1n+1 termes, de q0q^0 à qnq^n.

14. Pour la suite définie par u0=900u_0=900 et un+1=1,2un−100u_{n+1}=1,2u_n-100, quelle transformation permet d’obtenir une suite géométrique ?

Poser vn=un+500v_n=u_n+500, ce qui donne vn+1=1,2vnv_{n+1}=1,2v_n
Poser vn=un−100v_n=u_n-100, ce qui donne vn+1=1,2vnv_{n+1}=1,2v_n
Poser vn=1,2unv_n=1,2u_n, ce qui donne vn+1=vn−100v_{n+1}=v_n-100
Poser vn=un−500v_n=u_n-500, ce qui donne vn+1=1,2vnv_{n+1}=1,2v_n

Poser $$v_n=u_n-500$$, ce qui donne $$v_{n+1}=1,2v_n$$

Explication

La soustraction de 500 élimine le terme constant de la relation affine et donne vn+1=1,2vnv_{n+1}=1,2v_n. Ajouter 500 ou soustraire 100 ne supprime pas correctement le terme constant lors du passage de unu_n à un+1u_{n+1}.

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Qu'est-ce qu'une suite définie par une forme explicite ?

Son terme général s'exprime directement en fonction de n.

Qu'impose la définition par récurrence d'une suite ?

Le premier terme est donné et chaque terme dépend du précédent.

Quelle est la valeur de u2u_2 pour un=3n21−nu_n=\frac{3n^2}{1-n} avec n≥2n\geq 2 ?

u2=−12u_2=-12.

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