QCM : Rappels sur les vecteurs — 16 questions

Explication

Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une norme, et sa flèche représente une translation. Une origine et une extrémité décrivent une représentation particulière, mais ne constituent pas les trois caractéristiques définitoires.

Explication

La norme de $\overrightarrow{AB}$ est égale à la longueur $AB$ du segment [AB]. L’orientation et le sens décrivent le vecteur, mais ils ne mesurent pas sa norme.

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils possèdent la même direction, le même sens et la même longueur. Des vecteurs de même direction mais de sens opposés sont colinéaires, sans être égaux.

Explication

La relation de Chasles additionne le déplacement de A vers B puis celui de B vers C pour obtenir celui de A vers C. Les autres égalités modifient l’ordre ou le signe des vecteurs et ne traduisent pas cette succession.

Explication

Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan, donc tout vecteur peut s’écrire $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$ avec $a$ et $b$ réels. Deux vecteurs portés par une seule direction ne permettent pas de décrire toutes les directions du plan.

Explication

Comme I est le milieu de [AB], le déplacement de A vers I correspond à la moitié de celui de A vers B. Le vecteur $\overrightarrow{IA}$ a le sens opposé à $\overrightarrow{IB}$, et les autres coefficients proposés ne correspondent pas au partage en deux du segment.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque leurs droites supports sont parallèles, ce qui signifie qu’ils ont la même direction. L’égalité exige en plus le même sens et la même longueur, condition plus forte.

Explication

La colinéarité équivaut à l’existence d’un réel non nul $k$ vérifiant $\vec{u}=k\vec{v}$. Un coefficient nul produirait le vecteur nul, incompatible avec les deux vecteurs supposés non nuls.

Explication

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AC}$ est un multiple non nul de $\overrightarrow{AB}$. Un coefficient nul rendrait $\overrightarrow{AC}$ nul, ce qui contredirait la distinction entre A et C.

Explication

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ s’obtiennent en soustrayant les coordonnées de A à celles de B, ce qui donne $(5-2;3-(-1))=(3;4)$. Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ aurait les coordonnées opposées, soit $(-3;-4)$.

Explication

La norme vaut $\|\vec{u}\|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. La valeur $14$ correspond à une addition des valeurs absolues, qui n’est pas la formule de la norme euclidienne.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque le déterminant $xy'-x'y$ est nul ; ici, $2\times6-4\times3=0$. La différence entre les coordonnées ou leur signe ne suffit pas à conclure à la colinéarité.

Explication

Un vecteur directeur est caractérisé par le fait qu’il indique la même direction que la droite. Il n’est pas défini par une origine commune, et sa norme peut prendre différentes valeurs.

Explication

Une équation cartésienne de droite s’écrit $ax+by+c=0$ avec a et b non simultanément nuls ; $3x-2y+5=0$ respecte cette forme. Dans $0x+0y+4=0$, les coefficients de x et y sont tous deux nuls, ce qui ne définit pas une droite.

Explication

Le parallélisme est vérifié lorsque $ab'-a'b=0$ ; ici, $2\times6-4\times3=0$. La différence entre les constantes peut déplacer les droites sans modifier la condition de parallélisme.

Explication

Une droite verticale possède une équation réduite de la forme $x=x_0$ ; ici, son équation est donc $x=-3$. Une équation de la forme $y=mx+p$ décrit une droite non verticale.