Fiche de révision : Rappels sur les vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Définition et égalité des vecteurs
2. Opérations et décomposition vectorielle
3. Colinéarité et alignement
4. Coordonnées et norme
5. Équations des droites

📖 1. Définition et égalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme, représenté par une flèche et caractérisant une translation.
• Norme d’un vecteur : La norme du vecteur représenté par la flèche allant de A à B est la longueur AB du segment [AB].

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, ce qui équivaut à ce que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme éventuellement aplati.

💡 Astuce mémo

DSN : direction, sens, norme

📖 2. Opérations et décomposition vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition vectorielle : Si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont deux vecteurs non colinéaires, tout vecteur $\vec{u}$ du plan s’écrit $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$ avec a et b réels.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

📌 Pour un segment [AB] de milieu I, on a $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ et $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Compléments

📐 Formule — Si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

💡 Astuce mémo

Chasles → décomposition → milieu → médiane

📖 3. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, c’est-à-dire lorsque les droites qui les portent sont parallèles.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel non nul k tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

📌 Les points distincts A, B et C sont alignés si et seulement s’il existe un réel non nul k tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$.

💡 Astuce mémo

Colinéarité des vecteurs → parallélisme ou alignement

📖 4. Coordonnées et norme

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A a pour coordonnées (x_A ; y_A) et B (x_B ; y_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

📐 Formule — Pour un vecteur $\vec{u}(x;y)$, sa norme vérifie $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

📐 Formule — Les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B), la distance vérifie $\|\overrightarrow{AB}\|=AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

📖 5. Équations des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur qui possède la même direction que cette droite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute droite admet une équation cartésienne $ax+by+c=0$, où a, b et c sont réels et où a et b ne sont pas simultanément nuls.

📌 Deux droites d’équations $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ sont parallèles si et seulement si $ab'-a'b=0$.

📐 Formule — Une droite possède une équation réduite de la forme $y=mx+p$ ou $x=x_0$, où m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine.

Compléments

📐 Formule — Pour la droite d d’équation $ax+by+c=0$, le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur.

• L’équation réduite $y=mx+p$ est unique et la droite possède alors le vecteur directeur (1 ; m).

💡 Astuce mémo

Cartésienne ax + by + c = 0, réduite y = mx + p ou x = x₀

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’équations d’une droite