Fiche de révision : Rappels sur suites et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Ensembles réels et entiers
2. Fonctions et suites numériques
3. Notions fondamentales des fonctions
4. Dérivées et monotonie
5. Méthode d’étude d’une fonction
6. Suites et propriétés fondamentales
7. Fonctions de référence

📖 1. Ensembles réels et entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• R : Ensemble des nombres réels.
• Ensembles numériques : On note R+=[0,+∞[, R−=]−∞,0], R*=R{0}, R+=]0,+∞[, R−=]−∞,0[, Z l’ensemble des entiers relatifs et N=Z+ l’ensemble des entiers positifs ou nuls.
• Intervalle entier : Pour deux entiers naturels a et b, [a,b]={a,a+1,a+2,...,b}=[a,b]∩N.

📝 Points essentiels

• Les intervalles réels sont de la forme [a,b], ]a,b[, [a,b[ ou ]a,b], avec a,b∈R ou éventuellement ±∞.

📖 2. Fonctions et suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Correspondance entre des nombres réels x et y qui associe à chaque x de son domaine une unique valeur y=f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des x pour lesquels f(x) est défini.
• Suite numérique : Fonction u de N dans R définie sur un ensemble de la forme [n0,+∞[, avec n0∈N, et dont le terme de rang n se note u_n=u(n).

📝 Points essentiels

📌 La notation f désigne une fonction, tandis que f(x) désigne le nombre réel obtenu par l’évaluation de cette fonction au point x.

💡 Astuce mémo

Fonction : variable réelle x ; suite : variable entière n

📖 3. Notions fondamentales des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Parité : Une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à 0 est paire si f(−x)=f(x) et impaire si f(−x)=−f(x).
• Fonction bornée : Une fonction est majorée sur E s’il existe M∈R tel que f(x)≤M pour tout x∈E, minorée s’il existe m∈R tel que f(x)≥m pour tout x∈E, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• La fonction x↦x² est paire, la fonction x↦x³ est impaire et la fonction x↦1/x est impaire sur R*.

📖 4. Dérivées et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotonie : Une fonction est croissante sur I si x≤y implique f(x)≤f(y), décroissante si elle inverse ces inégalités, et monotone si elle est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles vérifient $(x^n)'=nx^{n-1}$ pour n∈N*, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour x>0, $(1/x)'=-\frac{1}{x^2}$ pour x>0, $(\ln x)'=1/x$ pour x>0, $(e^x)'=e^x$, $(\cos x)'=-\sin x$ et $(\sin x)'=\cos x$.

📐 Formule — Pour des fonctions dérivables, on a $(fg)'=f'g+fg'$, $(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ si g ne s’annule pas, et $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\times g'(x)$.

📌 Si f est dérivable sur I, alors f est croissante si et seulement si f'(x)≥0 sur I, et décroissante si et seulement si f'(x)≤0 sur I.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → sens de variation

📖 5. Méthode d’étude d’une fonction

★ À maîtriser

• L’étude d’une fonction consiste à déterminer son domaine de définition, sa parité et sa périodicité éventuelles, sa dérivée, le signe de cette dérivée, son tableau de variations, ses valeurs spécifiques et une représentation graphique schématique.

Compléments

• L’étude complète d’une fonction peut être complétée par des calculs de limites, d’asymptotes et de tangentes.

💡 Astuce mémo

Domaine → parité → dérivée → variations → valeurs → courbe

📖 6. Suites et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite stationnaire : Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang, c’est-à-dire s’il existe n_≥0 tel que la propriété soit vraie pour n≥n_.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique de premier terme a et de raison r vérifie u_0=a et u_{n+1}=u_n+r pour tout n≥0.
• Suite géométrique : Une suite géométrique de premier terme a et de raison q vérifie u_0=a et u_{n+1}=qu_n pour tout n≥0.

📝 Points essentiels

📌 Une suite explicite permet de calculer directement u_n, une suite récurrente construit u_{n+1} à partir de u_n, tandis que les autres suites ne relèvent d’aucun de ces deux procédés.

📐 Formule — Une suite récurrente est construite à partir de u_0 et d’une fonction f:N×R→R selon $u_{n+1}=f(n,u_n)$ pour n≥0.

📌 Pour étudier la monotonie d’une suite, on détermine le signe de u_{n+1}−u_n ; si ses termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer u_{n+1}/u_n à 1.

💡 Astuce mémo

Explicite : calcul direct ; récurrente : terme construit

📖 7. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Unique primitive sur ]0,+∞[ de x↦1/x qui s’annule en 1.
• Exponentielle : Réciproque du logarithme : pour x∈R, e^x est l’unique y>0 tel que ln(y)=x.
• Valeur absolue : Pour tout x∈R, la valeur absolue est définie par |x|=x si x≥0 et |x|=−x si x<0.

★ À maîtriser

• Les fonctions de référence se répartissent en fonctions puissance, fonctions exponentielles et logarithmiques, et fonctions trigonométriques.

📌 La fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, négative sur ]0,1[, positive sur ]1,+∞[, et vérifie ln(xy)=ln(x)+ln(y) pour x,y>0.

📐 Formule — L’exponentielle vérifie $e^{x+y}=e^xe^y$, $e^0=1$, et tend vers 0 quand x→−∞ et vers +∞ quand x→+∞.

📌 Pour tout x∈R, on a √(x²)=|x|, et non pas toujours √(x²)=x.

Compléments

📐 Formule — Pour α>0 non entier et x>0, la puissance réelle est définie par $x^α=e^{α\ln x}$ et vérifie notamment $(xy)^α=x^αy^α$.

• Les fonctions trigonométriques cos, sin et tan sont 2π-périodiques et dérivables sur R, tandis que tan(x)=sin(x)/cos(x).

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites