QCM : Récurrence et analyse des fonctions (5 questions)

Question 1

1. Quels sont les trois types de résultats illustrés par les exemples classiques de raisonnement par récurrence ?

Une égalité, une inégalité avec encadrement et une inégalité utilisant une fonction croissante

Une égalité, une inégalité avec encadrement et une étude du signe d’une dérivée

Une égalité, une inégalité avec encadrement et une suite géométrique

Une égalité, une autre égalité et une inégalité utilisant une fonction croissante

Explication

Les exemples classiques portent sur une égalité, une inégalité avec encadrement et une inégalité où intervient une fonction croissante. L’étude du signe d’une dérivée relève d’un autre thème, tandis que les deux autres réponses omettent l’un des types d’exemple.

Answer

Une égalité, une inégalité avec encadrement et une inégalité utilisant une fonction croissante

Question 2

2. Une fiche de cours consacrée aux suites arithmétiques et géométriques doit porter sur quelles deux catégories de suites ?

Les suites arithmétiques et les suites géométriques

Les suites arithmétiques et les fonctions croissantes

Les suites géométriques et les suites définies par récurrence

Les suites arithmétiques et les suites convergentes

Explication

Le cours porte sur les deux catégories nommées : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites définies par récurrence et les suites convergentes sont des notions distinctes, et une fonction croissante n’est pas une suite.

Answer

Les suites arithmétiques et les suites géométriques

Question 3

3. Sur un intervalle, la dérivée d’une fonction est croissante. Quel critère de convexité permet d’en déduire que la fonction est convexe sur cet intervalle ?

La fonction est décroissante

La fonction est constante

La fonction est concave

La fonction est convexe

Explication

Une dérivée croissante est l’un des critères de convexité : elle indique que la fonction est convexe sur l’intervalle. La décroissance de la fonction concerne le signe de sa dérivée, la concavité correspond à une dérivée décroissante, et la constance n’est pas impliquée.

Answer

La fonction est convexe

Question 4

4. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit $uv$ ?

u'v+uv'

u'v

u'+v'

u'v'

Explication

La dérivée d’un produit est $u'v+uv'$ : on dérive successivement chaque facteur en gardant l’autre inchangé. $u'v'$ dérive les deux facteurs simultanément, tandis que $u'v$ omet le terme où l’on dérive $v$ ; $u'+v'$ correspond à une somme de dérivées.

Answer

$$u'v+uv'$$

Question 5

5. Une suite est croissante et majorée. Quel résultat permet de conclure qu’elle converge ?

Le théorème de comparaison

Le théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème de convergence monotone

Le critère de divergence des suites géométriques

Explication

Le théorème de convergence monotone garantit la convergence d’une suite croissante et majorée. Le théorème de comparaison porte sur des suites comparées, la croissance sans majoration ne suffit pas à assurer la convergence, et la décroissance minorée est l’autre cas classique du théorème.

Answer

Le théorème de convergence monotone

QCM : Récurrence et analyse des fonctions (5 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quels sont les trois types de résultats illustrés par les exemples classiques de raisonnement par récurrence ?

2. Une fiche de cours consacrée aux suites arithmétiques et géométriques doit porter sur quelles deux catégories de suites ?

3. Sur un intervalle, la dérivée d’une fonction est croissante. Quel critère de convexité permet d’en déduire que la fonction est convexe sur cet intervalle ?

4. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit $uv$ ?

5. Une suite est croissante et majorée. Quel résultat permet de conclure qu’elle converge ?

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QCM : Récurrence et analyse des fonctions (5 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quels sont les trois types de résultats illustrés par les exemples classiques de raisonnement par récurrence ?

2. Une fiche de cours consacrée aux suites arithmétiques et géométriques doit porter sur quelles deux catégories de suites ?

3. Sur un intervalle, la dérivée d’une fonction est croissante. Quel critère de convexité permet d’en déduire que la fonction est convexe sur cet intervalle ?

4. Pour deux fonctions dérivables uuu et vvv, quelle expression donne la dérivée de leur produit uvuvuv ?

5. Une suite est croissante et majorée. Quel résultat permet de conclure qu’elle converge ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

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4. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit $uv$ ?