Fiche de révision : Récurrence et limites de suites

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence et effet domino
2. Conjecture et formule explicite
3. Axiome et inégalité de Bernoulli
4. Applications aux suites

📖 1. Principe de récurrence et effet domino

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démarche qui démontre qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en établissant une initialisation et une hérédité.

★ À maîtriser

• Pour prouver une propriété par récurrence, on vérifie d’abord qu’elle est vraie au rang initial, puis on suppose qu’elle est vraie à un rang n et on démontre qu’elle est vraie au rang n+1, avant de conclure qu’elle est vraie pour tous les rangs concernés.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_0=0{,}3$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}$, la récurrence démontre que $0<u_n<1$ pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

Amorce → hérédité → conclusion

📖 2. Conjecture et formule explicite

★ À maîtriser

• Le calcul des premiers termes d’une suite peut faire apparaître une conjecture qui doit ensuite être démontrée par récurrence.

📐 Formule — Pour la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, la formule explicite conjecturée puis démontrée est $u_n=2^n-1$.

Compléments

• Les premiers termes de la suite $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ sont $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=3$, $u_3=7$ et $u_4=15$.

💡 Astuce mémo

Premiers termes → conjecture → démonstration

📖 3. Axiome et inégalité de Bernoulli

★ À maîtriser

📌 Une propriété définie sur les entiers naturels est vraie à partir d’un rang initial si elle est vraie à ce rang et si, pour tout entier n à partir de ce rang, sa véracité implique celle au rang n+1.

📐 Formule — Pour tout réel strictement positif a et tout entier naturel n, l’inégalité de Bernoulli est $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$.

Compléments

• Dans l’hérédité de l’inégalité de Bernoulli, on multiplie l’hypothèse $\left(1+a\right)^m\geq 1+ma$ par $1+a>0$, puis on obtient $\left(1+a\right)^{m+1}\geq (1+ma)(1+a)\geq 1+(m+1)a$.

📖 4. Applications aux suites

★ À maîtriser

📐 Formule — L’application proposée considère la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2}+u_n$, et cherche à démontrer que $0<u_n<2$ pour tout entier naturel n.

📌 Dans cette application, l’initialisation est correcte puisque $u_0=1$ vérifie $0<u_0<2$, mais l’hérédité annoncée est incorrecte car $u_1=1+\sqrt{2}>2$.

Compléments

• La relation $u_{n+1}=\sqrt{2}+u_n$ donne $u_1=1+\sqrt{2}$, qui est supérieur à 2 ; la conclusion $0<u_n<2$ pour tout n ne peut donc pas être déduite de cette récurrence.

💡 Astuce mémo

Initialisation vraie ≠ hérédité démontrée