Récurrence et limites de suites

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence et effet domino
2. Conjecture et formule explicite
3. Axiome et inégalité de Bernoulli
4. Applications aux suites

📖 1. Principe de récurrence et effet domino

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Démarche qui démontre qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en établissant une initialisation et une hérédité.

★ À maîtriser

• Pour prouver une propriété par récurrence, on vérifie d’abord qu’elle est vraie au rang initial, puis on suppose qu’elle est vraie à un rang n et on démontre qu’elle est vraie au rang n+1, avant de conclure qu’elle est vraie pour tous les rangs concernés.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_0=0{,}3$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}$, la récurrence démontre que $0<u_n<1$ pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

Amorce → hérédité → conclusion

📖 2. Conjecture et formule explicite

★ À maîtriser

• Le calcul des premiers termes d’une suite peut faire apparaître une conjecture qui doit ensuite être démontrée par récurrence.

📐 Formule — Pour la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, la formule explicite conjecturée puis démontrée est $u_n=2^n-1$.

Compléments