Qu'est-ce qu'une valeur propre de f ?
Un scalaire λ tel qu'il existe un vecteur non nul x avec f(x)=λx.
Qu'est-ce qu'un vecteur propre associé à une valeur propre λ ?
Un vecteur non nul x vérifiant f(x)=λx.
Comment se définit le sous-espace propre associé à λ ?
C'est le noyau de f−λidE, noté Eλ(f).
Quelle propriété de stabilité a le sous-espace propre Eλ(f) ?
Il est stable par l'application f.
Que garantit la distinction des valeurs propres λ1,…,λp ?
Les vecteurs propres associés non nuls sont linéairement indépendants.
Quelle est la propriété de la somme des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes ?
Cette somme est directe.
Quelle condition caractérise une valeur propre λ de la matrice A ?
det(A−λIn)=0
Quelle est la définition du polynôme caractéristique de A∈Mn(K) ?
C'est χA(X)=det(A−XIn), un polynôme de degré n.
Quelles sont les racines du polynôme caractéristique d'une matrice ?
Ce sont les valeurs propres de la matrice dans K.
Quelle formule donne le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre 2 ?
χA(X)=X^2−tr(A)X+det(A).
Quelle condition caractérise la diagonalisabilité d'une matrice A ?
Il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles qu'A=PDP⁻¹.
Quand un endomorphisme est-il diagonalisable ?
S'il possède une base de vecteurs propres.
Quelle condition suffit pour qu'un endomorphisme de dimension n soit diagonalisable ?
Il possède n valeurs propres distinctes.
La condition d'avoir n valeurs propres distinctes est-elle nécessaire à la diagonalisabilité ?
Non, cette condition n'est pas nécessaire.
Quelle est la formule de si avec ?
.
Comment s'écrit un système de suites récurrentes linéaires ?
.
Quelle est la solution générale d'un système ?
.
Comment est définie l'exponentielle d'une matrice ?
.
Comment définit-on le polynôme d'un endomorphisme pour P(X)=a0+a1X+⋯+akXk ?
P(f)=a0idE+a1f+⋯+akfk.
Quels sous-espaces sont stables par f pour tout polynôme P ?
Im(P(f)) et Ker(P(f)) sont stables par f.
Que vaut Ker((PQ)(f)) si P et Q sont premiers entre eux ?
Ker((PQ)(f))=Ker(P(f))⊕Ker(Q(f)).
Qu'est-ce que le polynôme minimal μf d'un endomorphisme f ?
C'est l'unique polynôme unitaire de degré minimal vérifiant μf(f)=0.
Qu'est-ce qu'un polynôme annulateur de f ?
C'est un polynôme P∈K[X] tel que P(f)=0.
Que dit le théorème de Cayley-Hamilton concernant χf et f ?
Le polynôme caractéristique annule l'endomorphisme : χf(f)=0.
Quelle relation existe-t-il entre le polynôme minimal μf et tout polynôme annulateur de f ?
Le polynôme minimal μf divise tout polynôme annulateur de f.
Que divise en particulier le polynôme minimal μf ?
Il divise le polynôme caractéristique χf.
Qu'est-ce qu'un endomorphisme trigonalisable ?
Un endomorphisme dont la matrice est triangulaire supérieure dans une certaine base.
Quelle condition caractérise la trigonalisation d'un endomorphisme ?
Son polynôme caractéristique est scindé sur K.
Comment se définit le sous-espace caractéristique associé à une valeur propre λ ?
C'est le noyau de (f−λidE) élevé à la multiplicité m.
Comment se décompose l'espace E en fonction des sous-espaces caractéristiques ?
E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques.
Quelle est la dimension de chaque sous-espace caractéristique Fλ(f) ?
Elle est égale à la multiplicité de λ.
Quelles étapes comprend la trigonalisation pratique d'une matrice ?
Factoriser le polynôme caractéristique, déterminer les sous-espaces propres, compléter par vecteurs généralisés, calculer P et P⁻¹.
Qu'impose le polynôme caractéristique scindé pour la décomposition de Dunford ?
Il existe un unique couple (g,h) tel que f=g+h avec g diagonalisable, h nilpotent et gh=hg.
Quelle propriété caractérise une matrice nilpotente N ?
Il existe un entier p tel que N^p=0.
Que peut-il arriver à pour une matrice nilpotente N ?
peut être non nul.
Comment s'exprime si et avec ?
où se développe avec et .
Comment s'exprime si avec diagonale, nilpotente et ?
.
Quelle condition sur et garantit que ?
et doivent commuter.
Que se passe-t-il si et ne commutent pas pour ?
L'égalité n'est pas vraie en général.
Quelles sont les valeurs propres de la matrice A=((11,3),(-18,-4)) ?
2 et 5
Comment s'obtient un vecteur propre associé à une valeur propre λ ?
Par un multiple non nul d'un vecteur propre associé à λ
Quelle valeur propre n'existe pas si f est un automorphisme ?
0
Comment s'exprime le spectre de f⁻¹ en fonction du spectre de f ?
C'est l'ensemble {1/λ ; λ∈sp(f)}
Que vaut la somme des racines du polynôme caractéristique scindé de A ?
La somme est égale à tr(A).
Que vaut le produit des racines du polynôme caractéristique scindé de A ?
Le produit est égal à det(A).
Quelle est la forme de si est diagonale ?
.
Quelle relation lie (P+Q)(f) à P(f) et Q(f) pour P,Q∈K[X] ?
(P+Q)(f)=P(f)+Q(f).
Comment s'exprime la composition P(f)∘Q(f) en fonction de PQ ?
P(f)∘Q(f)=(PQ)(f).
Quelle inclusion existe entre Eλ(f) et Fλ(f) pour une valeur propre λ ?
Eλ(f) est inclus dans Fλ(f).
Quelle propriété de stabilité possède Fλ(f) ?
Fλ(f) est stable par f.
Quelle est la valeur propre unique de la matrice donnée dans le cours ?
La valeur propre unique est 2.
Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 2 dans l'exemple ?
La dimension est 1.
La matrice donnée est-elle diagonalisable ou trigonalisable ?
Elle est trigonalisable et non diagonalisable.
Quelle forme prend la matrice triangulaire T dans l'exemple avec une base de chaînes généralisées ?
T est la matrice ((2,1,0),(0,2,1),(0,0,2)).
Comment s'écrit la trigonalisation T dans l'exemple du cours ?
T = D_1 + N_1 avec D_1 = diag(2,2,2) et N_1 = ((0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)).
Quelle est la forme de si ?
.
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1. Quelle condition caractérise un scalaire comme valeur propre d’un endomorphisme ?
2. Pourquoi le vecteur nul n’est-il pas considéré comme un vecteur propre associé à une valeur propre ?
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