Fiche de révision : Réduction des endomorphismes

📋 Plan du Cours

1. Valeurs propres et vecteurs propres
2. Éléments propres des matrices
3. Polynôme caractéristique
4. Diagonalisation et critères
5. Applications de la diagonalisation
6. Polynômes d’un endomorphisme
7. Polynôme minimal et Cayley-Hamilton
8. Trigonalisation et sous-espaces caractéristiques
9. Pratique de la trigonalisation
10. Décomposition de Dunford
11. Calculs avec une matrice trigonalisable

📖 1. Valeurs propres et vecteurs propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire λ∈K est une valeur propre de f s’il existe un vecteur non nul x∈E tel que f(x)=λx.
• Vecteur propre : Vecteur non nul x∈E vérifiant f(x)=λx.
• Sous-espace propre : Le sous-espace propre associé à λ est Eλ(f)=Ker(f−λidE), et il est stable par f.

📝 Points essentiels

📌 Si λ1,…,λp sont des valeurs propres deux à deux distinctes, alors des vecteurs propres associés non nuls sont linéairement indépendants et la somme des sous-espaces propres correspondants est directe.

💡 Astuce mémo

Valeur propre = scalaire ; vecteur propre = direction non nulle associée

📖 2. Éléments propres des matrices

★ À maîtriser

📌 Un scalaire λ est une valeur propre de la matrice A si et seulement si det(A−λIn)=0.

Compléments

• Pour A=((11,3),(-18,-4)), le polynôme det(A−λI) vaut λ²−7λ+10=(λ−2)(λ−5), donc les valeurs propres sont 2 et 5.

• Pour une valeur propre λ de f, tout multiple non nul d’un vecteur propre associé à λ est encore un vecteur propre associé à λ.

📌 Si f est un automorphisme, 0 n’est pas une valeur propre et le spectre de f⁻¹ est l’ensemble {1/λ ; λ∈sp(f)}.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul de A−λI → valeur propre de A

📖 3. Polynôme caractéristique

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme caractéristique : Polynôme χA(X)=det(A−XIn), de degré n.

★ À maîtriser

• Les valeurs propres d’une matrice sont les racines dans K de son polynôme caractéristique.

📐 Formule - Pour une matrice carrée d’ordre 2, le polynôme caractéristique vérifie $χ_A(X)=X^2−tr(A)X+det(A)$.

Compléments

📌 Si χA est scindé et possède les racines λ1,…,λn comptées avec leurs multiplicités, alors λ1+⋯+λn=tr(A) et λ1⋯λn=det(A).

💡 Astuce mémo

Polynôme → racines → valeurs propres

📖 4. Diagonalisation et critères

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagonalisation : Une matrice A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A=PDP⁻¹.

📝 Points essentiels

• Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il possède une base de vecteurs propres.

• Un endomorphisme de dimension n possédant n valeurs propres distinctes est diagonalisable, mais cette condition n’est pas nécessaire.

• Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et si, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre égale sa multiplicité.

💡 Astuce mémo

Base de vecteurs propres → matrice diagonale ; base insuffisante → pas de diagonalisation

📖 5. Applications de la diagonalisation

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A=PDP⁻¹ avec D=diag(λ1,…,λn), alors pour tout entier k, $A^k=PD^kP^{-1}=Pdiag(λ_1^k,…,λ_n^k)P^{-1}$.

• Un système de suites récurrentes linéaires s’écrit Xn=AXn−1 et sa solution est Xn=AnX0.

📐 Formule - L’exponentielle d’une matrice A est définie par $e^A=\sum_{n=0}^{+∞}\frac{1}{n!}A^n$.

Compléments

📌 Si A est diagonale, A=diag(λ1,…,λn), alors eA=diag(eλ1,…,eλn).

💡 Astuce mémo

A = PDP⁻¹ → Aᵏ = PDᵏP⁻¹ → calculs de suites et d’exponentielles

📖 6. Polynômes d’un endomorphisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme d’un endomorphisme : Pour P(X)=a0+a1X+⋯+akXk, on définit P(f)=a0idE+a1f+⋯+akfk.

★ À maîtriser

📌 Pour tout polynôme P, les sous-espaces Im(P(f)) et Ker(P(f)) sont stables par f.

📌 Si P et Q sont premiers entre eux, alors Ker((PQ)(f))=Ker(P(f))⊕Ker(Q(f)).

Compléments

📌 Pour P,Q∈K[X], on a (P+Q)(f)=P(f)+Q(f) et P(f)∘Q(f)=(PQ)(f).

💡 Astuce mémo

Polynôme → endomorphisme → noyau et image stables

📖 7. Polynôme minimal et Cayley-Hamilton

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme minimal : Unique polynôme unitaire de degré minimal vérifiant μf(f)=0.
• Polynôme annulateur : Polynôme P∈K[X] tel que P(f)=0.

★ À maîtriser

📌 Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme caractéristique annule l’endomorphisme : χf(f)=0.

📌 Le polynôme minimal μf divise tout polynôme annulateur de f, en particulier le polynôme caractéristique χf.

Compléments

📌 Un scalaire λ est une valeur propre de f si et seulement si μf(λ)=0.

💡 Astuce mémo

Cayley-Hamilton : χf(f)=0 → le polynôme minimal divise χf

📖 8. Trigonalisation et sous-espaces caractéristiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Trigonalisation : Existence d’une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure.
• Sous-espace caractéristique : Si λ est une valeur propre de multiplicité m, le sous-espace caractéristique associé est Fλ(f)=Ker((f−λidE)m).

★ À maîtriser

📌 Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K.

📌 L’espace E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques et la dimension de chaque Fλ(f) égale la multiplicité de λ.

Compléments

📌 Pour chaque valeur propre λ, on a Eλ(f)⊂Fλ(f), et Fλ(f) est stable par f.

💡 Astuce mémo

Sous-espace propre = Ker(f−λI), sous-espace caractéristique = Ker((f−λI)^m)

📖 9. Pratique de la trigonalisation

★ À maîtriser

• La trigonalisation pratique consiste à factoriser le polynôme caractéristique, déterminer les sous-espaces propres, compléter les bases par des vecteurs généralisés, puis calculer P et P⁻¹.

Compléments

• Pour la matrice donnée dans le cours, la seule valeur propre est 2, de multiplicité triple, mais son sous-espace propre est de dimension 1 ; elle est donc trigonalisable et non diagonalisable.

• Dans cet exemple, une base de chaînes généralisées donne la matrice triangulaire T=((2,1,0),(0,2,1),(0,0,2)).

💡 Astuce mémo

Factoriser → propres → chaînes de vecteurs → P et P⁻¹

📖 10. Décomposition de Dunford

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition de Dunford : Si le polynôme caractéristique de f est scindé, il existe un unique couple (g,h) tel que f=g+h, où g est diagonalisable, h est nilpotent et gh=hg.

★ À maîtriser

• Une matrice nilpotente N vérifie Np=0 pour un entier p, avec éventuellement Np−1≠0.

Compléments

• Dans la trigonalisation de la matrice du cours, T=D1+N1 avec D1=diag(2,2,2) et N1=((0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)).

💡 Astuce mémo

Partie diagonalisable + partie nilpotente, avec commutation

📖 11. Calculs avec une matrice trigonalisable

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A=PTP⁻¹ et T=D+N avec DN=ND, alors pour tout entier k, $A^k=PT^kP^{-1}$, où T^k se développe avec D et les puissances de N.

📐 Formule - Si T=D+N avec D diagonale, N nilpotente et DN=ND, alors $e^A=Pe^TP^{-1}=Pe^De^NP^{-1}$.

📌 Si A et B commutent, alors eA+B=eAeB ; sans commutation, cette égalité n’est pas vraie en général.

Compléments

📐 Formule - Si Np=0, alors $e^N=I_n+N+\frac{1}{2!}N^2+\cdots+\frac{1}{(p−1)!}N^{p−1}$.

💡 Astuce mémo

T=D+N, DN=ND → puissances et exponentielle se développent séparément

📊 Tableaux de synthèse

Sous-espaces associés à une valeur propre