QCM : Réduction des endomorphismes (34 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise un scalaire λ\lambda comme valeur propre d’un endomorphisme ff ?

Le noyau de f−λ idEf-\lambda\,\mathrm{id}_E est réduit au vecteur nul.
Il existe un vecteur non nul xx tel que f(x)=λxf(x)=\lambda x.
Tout vecteur xx vérifie la relation f(x)=λxf(x)=\lambda x.
Il existe un vecteur nul xx tel que f(x)=λxf(x)=\lambda x.

Il existe un vecteur non nul $$x$$ tel que $$f(x)=\lambda x$$.

Explication

Un scalaire est une valeur propre lorsqu’il existe au moins un vecteur non nul transformé en son multiple par λ\lambda. La seule existence du vecteur nul ne suffit pas, car il vérifie cette égalité pour tout scalaire.

2. Pourquoi le vecteur nul n’est-il pas considéré comme un vecteur propre associé à une valeur propre λ\lambda ?

Parce que l’image du vecteur nul par un endomorphisme peut être non nulle.
Parce que le vecteur nul ne peut appartenir à aucun espace vectoriel.
Parce qu’un vecteur propre doit être non nul, même si le vecteur nul vérifie l’égalité.
Parce que le vecteur nul vérifie l’égalité seulement lorsque λ=0\lambda=0.

Parce qu’un vecteur propre doit être non nul, même si le vecteur nul vérifie l’égalité.

Explication

La définition impose qu’un vecteur propre soit non nul, afin que l’égalité ne soit pas automatiquement vraie pour tout scalaire. En effet, tout endomorphisme envoie le vecteur nul sur le vecteur nul.

3. Comment se définit le sous-espace propre associé à une valeur propre λ\lambda ?

Par Eλ(f)=Ker⁡(f−λ idE)E_\lambda(f)=\operatorname{Ker}(f-\lambda\,\mathrm{id}_E), un sous-espace stable par ff.
Par l’ensemble des scalaires appartenant au spectre de ff.
Par l’image de f−λ idEf-\lambda\,\mathrm{id}_E, qui est stable par l’identité.
Par l’ensemble des vecteurs propres associés à toutes les valeurs propres de ff.

Par $$E_\lambda(f)=\operatorname{Ker}(f-\lambda\,\mathrm{id}_E)$$, un sous-espace stable par $$f$$.

Explication

Le sous-espace propre est le noyau de f−λ idEf-\lambda\,\mathrm{id}_E et il est stable par ff. Le spectre, en revanche, est un ensemble de scalaires et non un sous-espace de vecteurs.

4. Que peut-on conclure lorsque des valeurs propres λ1,…,λp\lambda_1,\ldots,\lambda_p sont deux à deux distinctes et que l’on choisit un vecteur propre non nul pour chacune ?

Les vecteurs choisis sont indépendants seulement lorsque les valeurs propres sont toutes nulles.
Les vecteurs choisis sont colinéaires et la somme des sous-espaces propres est nécessairement égale à leur intersection.
Les vecteurs choisis sont linéairement indépendants et la somme des sous-espaces propres est directe.
Les sous-espaces propres correspondants coïncident dès que les vecteurs choisis sont non nuls.

Les vecteurs choisis sont linéairement indépendants et la somme des sous-espaces propres est directe.

Explication

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes sont linéairement indépendants, ce qui rend directe la somme des sous-espaces propres correspondants. La colinéarité est incompatible avec cette indépendance, sauf dans des cas dégénérés exclus par la distinction des valeurs propres.

5. Quelle condition équivaut au fait qu’un scalaire λ\lambda soit une valeur propre d’une matrice carrée AA d’ordre nn ?

det⁡(A−λIn)=0\det(A-\lambda I_n)=0
det⁡(A−λIn)=1\det(A-\lambda I_n)=1
det⁡(A+λIn)=0\det(A+\lambda I_n)=0
det⁡(A)≠0\det(A)\neq 0

$$\det(A-\lambda I_n)=0$$

Explication

La matrice A−λInA-\lambda I_n doit être non inversible, ce qui équivaut à l’annulation de son déterminant. La condition det⁡(A)≠0\det(A)\neq0 indique seulement que 00 n’est pas une valeur propre.

6. Quelles sont les valeurs propres de la matrice A=(113−18−4)A=\begin{pmatrix}11&3\\-18&-4\end{pmatrix} ?

33 et 44
−2-2 et −5-5
22 et 55
11 et 1010

$$2$$ et $$5$$

Explication

Pour cette matrice, on obtient det⁡(A−λI)=λ2−7λ+10=(λ−2)(λ−5)\det(A-\lambda I)=\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5), dont les racines sont 22 et 55. Les vecteurs propres associés sont des vecteurs distincts qui correspondent à ces valeurs.

7. Quelle expression définit le polynôme caractéristique d’une matrice A∈Mn(K)A\in M_n(K) ?

χA(X)=det⁡(A)\chi_A(X)=\det(A), un scalaire indépendant de XX
χA(X)=det⁡(XA−In)\chi_A(X)=\det(XA-I_n), un polynôme de degré 11
χA(X)=det⁡(A−XIn)\chi_A(X)=\det(A-XI_n), un polynôme de degré nn
χA(X)=tr⁡(A−XIn)\chi_A(X)=\operatorname{tr}(A-XI_n), un polynôme de degré nn

$$\chi_A(X)=\det(A-XI_n)$$, un polynôme de degré $$n$$

Explication

Le polynôme caractéristique est défini par χA(X)=det⁡(A−XIn)\chi_A(X)=\det(A-XI_n) et son degré est nn. Le spectre n’est pas ce polynôme lui-même, mais l’ensemble de ses racines appartenant à KK.

8. Quel lien existe entre les valeurs propres d’une matrice et son polynôme caractéristique ?

Les valeurs propres sont les coefficients du terme de plus haut degré du polynôme caractéristique.
Les valeurs propres sont les dérivées du polynôme caractéristique évaluées en zéro.
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique qui appartiennent à KK.
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique qui sont nécessairement toutes distinctes.

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique qui appartiennent à $$K$$.

Explication

Une valeur propre λ\lambda vérifie det⁡(A−λIn)=0\det(A-\lambda I_n)=0, donc elle est une racine de χA\chi_A dans KK. Ces racines peuvent toutefois être multiples, elles ne sont donc pas nécessairement distinctes.

9. Pour une matrice carrée AA d’ordre 22, quelle formule donne son polynôme caractéristique ?

χA(X)=tr⁡(A)X2−det⁡(A)X+1\chi_A(X)=\operatorname{tr}(A)X^2-\det(A)X+1
χA(X)=X2−det⁡(A)X+tr⁡(A)\chi_A(X)=X^2-\det(A)X+\operatorname{tr}(A)
χA(X)=X2−tr⁡(A)X+det⁡(A)\chi_A(X)=X^2-\operatorname{tr}(A)X+\det(A)
χA(X)=X2+tr⁡(A)X−det⁡(A)\chi_A(X)=X^2+\operatorname{tr}(A)X-\det(A)

$$\chi_A(X)=X^2-\operatorname{tr}(A)X+\det(A)$$

Explication

Pour une matrice d’ordre deux, le coefficient de XX est l’opposé de la trace et le terme constant est le déterminant. Les autres expressions échangent ces deux invariants ou modifient leurs signes.

10. Quelle condition caractérise la diagonalisation d’une matrice carrée A ?

Il existe une matrice inversible P et une matrice triangulaire D telles que A=PDP−1A=PDP^{-1}.
Il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A=P−1DPA=P^{-1}DP.
Il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A=PDP−1A=PDP^{-1}.
Il existe une matrice diagonale P et une matrice inversible D telles que A=PDP−1A=PDP^{-1}.

Il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que $$A=PDP^{-1}$$.

Explication

Une matrice est diagonalisable lorsqu’elle est semblable à une matrice diagonale, ce qui s’écrit A=PDP−1A=PDP^{-1} avec P inversible. Une matrice triangulaire ne garantit pas la diagonalisation, et l’ordre des facteurs dans la similarité est déterminant.

11. Quelle propriété d’un endomorphisme est équivalente à sa diagonalisabilité ?

Il possède une base de vecteurs propres.
Il possède une base composée de vecteurs de norme égale.
Il possède une base de vecteurs appartenant au noyau.
Il possède une base formée de vecteurs générateurs quelconques.

Il possède une base de vecteurs propres.

Explication

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet une base de vecteurs propres. Une base de générateurs quelconques, de vecteurs de même norme ou de vecteurs du noyau ne fournit pas cette caractérisation.

12. Un endomorphisme d’un espace de dimension n possède n valeurs propres distinctes ; que peut-on en déduire ?

Il est diagonalisable uniquement lorsque toutes ses valeurs propres sont nulles.
Il est diagonalisable, même si cette condition n’est pas nécessaire.
Il n’est pas diagonalisable, car ses valeurs propres sont distinctes.
Il est diagonalisable parce que toute matrice possède n valeurs propres distinctes.

Il est diagonalisable, même si cette condition n’est pas nécessaire.

Explication

La présence de n valeurs propres distinctes fournit n vecteurs propres indépendants et permet donc la diagonalisation. Cette hypothèse est suffisante, mais certains endomorphismes diagonalisables peuvent avoir moins de n valeurs propres distinctes.

13. Quel critère caractérise la diagonalisabilité à partir du polynôme caractéristique et des sous-espaces propres ?

Le polynôme caractéristique possède une racine unique et chaque sous-espace propre est de dimension un.
Le polynôme caractéristique est scindé et chaque sous-espace propre a une dimension égale à la multiplicité de la valeur propre.
Le polynôme caractéristique est irréductible et chaque sous-espace propre a une dimension nulle.
Le polynôme caractéristique est scindé et chaque sous-espace propre a une dimension égale au degré du polynôme.

Le polynôme caractéristique est scindé et chaque sous-espace propre a une dimension égale à la multiplicité de la valeur propre.

Explication

La diagonalisabilité exige que le polynôme caractéristique soit scindé et que, pour chaque valeur propre, les multiplicités géométrique et algébrique coïncident. La multiplicité algébrique est celle de la racine, tandis que la multiplicité géométrique est la dimension du sous-espace propre.

14. Si A=PDP−1A=PDP^{-1} avec D=diag⁡(λ1,…,λn)D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n), quelle expression donne AkA^k pour un entier k ?

Ak=Pdiag⁡(λ1k,…,λnk)P−1A^k=P\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)P^{-1}
Ak=Pdiag⁡(kλ1,…,kλn)P−1A^k=P\operatorname{diag}(k\lambda_1,\ldots,k\lambda_n)P^{-1}
Ak=P−1diag⁡(λ1k,…,λnk)PA^k=P^{-1}\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)P
Ak=Pdiag⁡(λ1,…,λn)P−kA^k=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)P^{-k}

$$A^k=P\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)P^{-1}$$

Explication

La similarité permet de calculer les puissances de A en élevant chaque coefficient diagonal de D à la puissance k. Les matrices P et P−1P^{-1} restent inchangées, contrairement aux expressions proposées dans les autres choix.

15. Pour le système de récurrence Xn=AXn−1X_n=AX_{n-1}, quelle est la solution en fonction de l’état initial X0X_0 ?

Xn=An−1X0X_n=A^{n-1}X_0
Xn=AX0nX_n=AX_0^n
Xn=nAX0X_n=nAX_0
Xn=AnX0X_n=A^nX_0

$$X_n=A^nX_0$$

Explication

En appliquant la relation matricielle n fois, on obtient Xn=AnX0X_n=A^nX_0. La relation entre deux termes consécutifs utilise A, tandis que la solution explicite utilise la puissance n de A.

16. Comment définit-on l’exponentielle d’une matrice carrée A ?

Par l’application terme à terme de l’exponentielle aux coefficients de A.
Par la puissance scalaire eA=∑n=0+∞1n!Ane^A=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}A^n remplacée par e Ae\,A.
Par le produit fini eA=A+A2+⋯+Ane^A=A+A^2+\cdots+A^n.
Par la série eA=∑n=0+∞1n!Ane^A=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}A^n.

Par la série $$e^A=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}A^n$$.

Explication

L’exponentielle matricielle est définie par une série de puissances de A, avec le facteur 1n!\frac{1}{n!}. Elle ne se réduit ni à une puissance scalaire, ni à une somme finie, ni à l’exponentielle appliquée séparément aux coefficients.

17. Pour P(X)=a0+a1X+⋯+akXkP(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k et un endomorphisme f, quelle est la définition de P(f)P(f) ?

P(f)=a0f+a1f2+⋯+akfk+1P(f)=a_0f+a_1f^2+\cdots+a_kf^{k+1}
P(f)=a0id⁡E+a1f+⋯+akfkP(f)=a_0\operatorname{id}_E+a_1f+\cdots+a_kf^k
P(f)=a0id⁡E+a1X+⋯+akXkP(f)=a_0\operatorname{id}_E+a_1X+\cdots+a_kX^k, où X demeure formel.
P(f)=a0+a1f+⋯+akfkP(f)=a_0+a_1f+\cdots+a_kf^k, où le terme constant reste un scalaire.

$$P(f)=a_0\operatorname{id}_E+a_1f+\cdots+a_kf^k$$

Explication

Évaluer un polynôme en f remplace X par l’endomorphisme f et le terme constant par a0id⁡Ea_0\operatorname{id}_E. Ainsi, P(f)P(f) est un endomorphisme, alors que P(X)P(X) reste un polynôme formel.

18. Que peut-on affirmer des espaces Im⁡(P(f))\operatorname{Im}(P(f)) et Ker⁡(P(f))\operatorname{Ker}(P(f)) pour un polynôme P ?

Ils sont stables par tout endomorphisme de E.
Ils sont stables par f.
Ils sont nécessairement de dimensions égales.
Ils sont nécessairement égaux à l’espace entier E.

Ils sont stables par f.

Explication

Comme P(f) commute avec f, l’image et le noyau de P(f) sont invariants par f. Cette propriété n’impose ni qu’ils coïncident avec E, ni qu’ils soient stables par tout endomorphisme, ni que leurs dimensions soient égales.

19. Si deux polynômes P et Q sont premiers entre eux, quelle décomposition décrit le noyau de leur produit évalué en f ?

Ker⁡((PQ)(f))=Ker⁡(P(f))∩Ker⁡(Q(f))\operatorname{Ker}((PQ)(f))=\operatorname{Ker}(P(f))\cap\operatorname{Ker}(Q(f))
Ker⁡((PQ)(f))=Ker⁡(P(f))⊕Ker⁡(Q(f))\operatorname{Ker}((PQ)(f))=\operatorname{Ker}(P(f))\oplus\operatorname{Ker}(Q(f))
Ker⁡((PQ)(f))=Ker⁡(P(f))+Im⁡(Q(f))\operatorname{Ker}((PQ)(f))=\operatorname{Ker}(P(f))+\operatorname{Im}(Q(f))
Ker⁡((PQ)(f))=Im⁡(P(f))⊕Im⁡(Q(f))\operatorname{Ker}((PQ)(f))=\operatorname{Im}(P(f))\oplus\operatorname{Im}(Q(f))

$$\operatorname{Ker}((PQ)(f))=\operatorname{Ker}(P(f))\oplus\operatorname{Ker}(Q(f))$$

Explication

La coprimalité de P et Q entraîne une décomposition directe du noyau de (PQ)(f)(PQ)(f) en noyaux de P(f) et Q(f). Une intersection de noyaux ou une somme d’images ne traduit pas cette propriété de décomposition.

20. Quelle propriété caractérise le polynôme minimal μf\mu_f d’un endomorphisme ff ?

C’est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule ff.
C’est tout polynôme annulateur dont le degré coïncide avec celui de ff.
C’est le polynôme non nul de plus grand degré qui annule ff.
C’est le polynôme caractéristique rendu unitaire par normalisation.

C’est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule $$f$$.

Explication

Le polynôme minimal est unitaire et possède le plus petit degré parmi les polynômes annulant ff. Un polynôme annulateur quelconque peut ne pas être unitaire ni de degré minimal.

21. Quelle condition définit un polynôme annulateur PP d’un endomorphisme ff ?

Il coïncide avec le polynôme caractéristique de ff.
Il vérifie P(f)=id⁡EP(f)=\operatorname{id}_E.
Il vérifie P(f)=0P(f)=0.
Il est nécessairement unitaire et irréductible.

Il vérifie $$P(f)=0$$.

Explication

Un polynôme annulateur est un polynôme P∈K[X]P\in K[X] tel que P(f)=0P(f)=0. Cette définition n’impose ni que PP soit unitaire ni qu’il soit égal au polynôme caractéristique.

22. Que garantit le théorème de Cayley-Hamilton pour un endomorphisme ff ?

La matrice de ff est diagonale dans toute base.
Toute valeur propre vérifie χf(λ)=1\chi_f(\lambda)=1.
Le polynôme caractéristique vérifie χf(f)=0\chi_f(f)=0.
Le polynôme minimal vérifie μf(f)=id⁡E\mu_f(f)=\operatorname{id}_E.

Le polynôme caractéristique vérifie $$\chi_f(f)=0$$.

Explication

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme caractéristique annule l’endomorphisme, donc χf(f)=0\chi_f(f)=0. Il ne garantit ni la diagonalisation ni une valeur particulière pour l’évaluation du polynôme minimal.

23. Quelle relation existe entre le polynôme minimal μf\mu_f et tout polynôme annulateur de ff$?

μf\mu_f divise tout polynôme annulateur de ff.
Tout polynôme annulateur divise μf\mu_f$ .
μf\mu_f et tout polynôme annulateur sont nécessairement égaux.
μf\mu_f est premier avec tout polynôme annulateur de ff.

$$\mu_f$$ divise tout polynôme annulateur de $$f$$.

Explication

Par définition de degré minimal et par division euclidienne, μf\mu_f divise tout polynôme annulateur, notamment χf\chi_f. La divisibilité dans l’autre sens n’est pas la propriété générale.

24. Comment caractérise-t-on un endomorphisme trigonalisable ?

Son polynôme caractéristique est nécessairement de degré un.
Sa matrice est triangulaire supérieure dans toute base.
Il possède une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.
Il possède une base dans laquelle sa matrice est diagonale.

Il possède une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.

Explication

La trigonalisation signifie qu’il existe une base donnant une matrice triangulaire supérieure. Une matrice diagonale correspond à une propriété plus forte, la diagonalisation.

25. À quelle condition un endomorphisme est-il trigonalisable sur un corps KK ?

Son polynôme caractéristique est scindé sur KK.
Tous ses sous-espaces propres sont de dimension nulle.
Son polynôme minimal est irréductible sur KK.
Sa matrice possède des coefficients diagonaux distincts.

Son polynôme caractéristique est scindé sur $$K$$.

Explication

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur KK. L’irréductibilité du polynôme minimal et la distinction des coefficients diagonaux ne constituent pas ce critère.

26. Si λ\lambda est une valeur propre de multiplicité mm, quelle expression définit le sous-espace caractéristique associé ?

Fλ(f)=Ker⁡(f−λid⁡E)F_\lambda(f)=\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{id}_E)
Fλ(f)=Ker⁡((f−λid⁡E)m)F_\lambda(f)=\operatorname{Ker}\big((f-\lambda\operatorname{id}_E)^m\big)
Fλ(f)=Ker⁡(fm−λid⁡E)F_\lambda(f)=\operatorname{Ker}(f^m-\lambda\operatorname{id}_E)
Fλ(f)=Im⁡(f−λid⁡E)mF_\lambda(f)=\operatorname{Im}(f-\lambda\operatorname{id}_E)^m

$$F_\lambda(f)=\operatorname{Ker}\big((f-\lambda\operatorname{id}_E)^m\big)$$

Explication

Le sous-espace caractéristique utilise la puissance correspondant à la multiplicité, soit Ker⁡((f−λid⁡E)m)\operatorname{Ker}((f-\lambda\operatorname{id}_E)^m). Le noyau de la première puissance décrit le sous-espace propre, qui peut être plus petit.

27. Quelle décomposition décrit l’espace associé à un endomorphisme trigonalisable lorsque les valeurs propres sont regroupées par sous-espaces caractéristiques ?

EE est la somme des sous-espaces propres, dont les dimensions sont toutes égales à un.
EE est la somme directe des sous-espaces caractéristiques, dont les dimensions égalent les multiplicités.
Chaque sous-espace caractéristique coïncide avec l’espace propre correspondant, quelle que soit la multiplicité.
EE est une somme directe de sous-espaces caractéristiques tous de même dimension.

$$E$$ est la somme directe des sous-espaces caractéristiques, dont les dimensions égalent les multiplicités.

Explication

L’espace se décompose en somme directe des sous-espaces caractéristiques, et la dimension de chacun est égale à la multiplicité de sa valeur propre. Cette propriété concerne les sous-espaces caractéristiques, pas nécessairement les sous-espaces propres.

28. Quelles étapes correspondent à une trigonalisation pratique d’une matrice ?

Factoriser le polynôme caractéristique, déterminer les sous-espaces propres, compléter par des vecteurs généralisés, puis calculer PP et P−1P^{-1}.
Déterminer le déterminant, choisir une base quelconque, puis obtenir une matrice triangulaire sans matrice de passage.
Factoriser le polynôme minimal, rechercher les vecteurs orthogonaux, puis calculer seulement la matrice de passage PP.
Calculer directement une base propre complète, supprimer les valeurs propres répétées, puis former une matrice diagonale.

Factoriser le polynôme caractéristique, déterminer les sous-espaces propres, compléter par des vecteurs généralisés, puis calculer $$P$$ et $$P^{-1}$$.

Explication

La méthode consiste à factoriser le polynôme caractéristique, trouver les sous-espaces propres, ajouter des vecteurs généralisés lorsque nécessaire, puis construire PP et P−1P^{-1}. Une base propre complète permettrait une diagonalisation, mais elle peut ne pas exister pour une trigonalisation.

29. Dans l’exemple considéré, pourquoi la matrice est-elle trigonalisable mais non diagonalisable ?

Sa seule valeur propre est 11, de multiplicité 22, et son sous-espace propre est de dimension 33.
Ses trois valeurs propres sont distinctes, mais son polynôme caractéristique n’est pas scindé.
Sa seule valeur propre est 22, de multiplicité 33, tandis que son sous-espace propre est de dimension 11.
Son sous-espace propre est de dimension 33, mais aucun sous-espace caractéristique n’est défini.

Sa seule valeur propre est $$2$$, de multiplicité $$3$$, tandis que son sous-espace propre est de dimension $$1$$.

Explication

La valeur propre 22 a une multiplicité algébrique égale à 33, alors que son sous-espace propre a dimension 11, ce qui empêche la diagonalisation. Le polynôme caractéristique étant scindé, la trigonalisation reste possible.

30. Lorsque le polynôme caractéristique d’un endomorphisme est scindé, quelles propriétés caractérisent les deux composantes de sa décomposition de Dunford ?

Les deux composantes sont nilpotentes et vérifient gh = hg
La composante g est nilpotente et la composante h est diagonalisable, avec gh = hg
Les deux composantes sont diagonalisables et vérifient gh = hg
La composante g est diagonalisable et la composante h est nilpotente, avec gh = hg

La composante g est diagonalisable et la composante h est nilpotente, avec gh = hg

Explication

La décomposition de Dunford écrit l’endomorphisme sous la forme f = g + h, où g est diagonalisable, h est nilpotente et les deux composantes commutent. Intervertir les propriétés de g et h constitue la confusion classique entre les deux parties.

31. Quelle condition caractérise une matrice nilpotente N ?

Toutes les puissances de N sont inversibles à partir d’un certain rang
Il existe un entier p tel que N^p = 0, avec éventuellement Np−1N^{p−1} ≠ 0
Il existe un entier p tel que N^p = N, avec éventuellement Np−1=0N^{p−1} = 0
La matrice N possède une base de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

Il existe un entier p tel que N^p = 0, avec éventuellement $$N^{p−1}$$ ≠ 0

Explication

Une matrice nilpotente voit une de ses puissances devenir nulle : N^p = 0 pour un entier p, tandis que la puissance précédente peut être non nulle. La relation N^p = N décrit une autre propriété algébrique et ne définit pas la nilpotence.

32. Si A = PTP⁻¹ et si l’on veut calculer une puissance entière de A, quelle expression faut-il utiliser ?

A^k = T^k, puis effectuer le calcul sans tenir compte de la matrice P
A^k = PT^kP⁻¹, puis développer T^k à partir de D et N
A^k = PTP⁻¹ + kI, puis remplacer T par D − N
Ak=PkTP−kA^k = P^kTP^{−k}, puis développer T avec D−1D^{-1} et N−1N^{-1}

A^k = PT^kP⁻¹, puis développer T^k à partir de D et N

Explication

La similitude A = PTP⁻¹ se transmet aux puissances, ce qui donne A^k = PT^kP⁻¹; le calcul se ramène donc à T et à sa décomposition T = D + N. La matrice de passage P ne disparaît pas du résultat, même si elle permet de travailler d’abord sur T.

33. Sous quelles conditions peut-on factoriser l’exponentielle associée à une matrice trigonalisable sous la forme e^A = Pe^De^NP⁻¹ ?

Lorsque D et N sont toutes deux nilpotentes, sans condition sur P
Lorsqu'A = PTP⁻¹, T = D + N, et que D et N commutent
Lorsque P est diagonale et que D et N sont de matrices de tailles différentes
Lorsqu'A = PTP⁻¹, T = D + N, même si D et N ne commutent pas

Lorsqu'A = PTP⁻¹, T = D + N, et que D et N commutent

Explication

La factorisation repose sur e^T = e^De^N, valable ici parce que D et N commutent, puis sur la similitude entre A et T. Sans commutation, le produit des exponentielles ne représente généralement pas l’exponentielle de la somme.

34. Pour deux matrices A et B, dans quelle situation l’égalité eA+B=eAeBe^{A+B} = e^Ae^B est-elle garantie ?

Lorsqu'A et B commutent
Lorsqu'A et B sont toutes deux diagonales, même si elles ne commutent pas
Lorsqu'A et B sont de même dimension, sans condition supplémentaire
Lorsqu'A et B sont inversibles, quelle que soit leur relation

Lorsqu'A et B commutent

Explication

La commutation AB = BA garantit la formule eA+B=eAeBe^{A+B} = e^Ae^B. Le fait d’avoir la même taille ou d’être inversibles ne suffit pas à assurer cette identité lorsque les matrices ne commutent pas.

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Mémorisez les réponses avec 56 flashcards sur Réduction des endomorphismes.

Qu'est-ce qu'une valeur propre de f ?

Un scalaire λ tel qu'il existe un vecteur non nul x avec f(x)=λx.

Qu'est-ce qu'un vecteur propre associé à une valeur propre λ ?

Un vecteur non nul x vérifiant f(x)=λx.

Comment se définit le sous-espace propre associé à λ ?

C'est le noyau de f−λidE, noté Eλ(f).

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