Fiche de révision : Régime sinusoïdal forcé

📋 Plan du Cours

1. Régimes transitoire et permanent
2. Signaux sinusoïdaux et décomposition
3. Représentation complexe des signaux
4. Impédances des dipôles usuels
5. Lois électrocinétiques en régime forcé
6. Résonance de courant du circuit RLC
7. Mesure expérimentale de la résonance
8. Réponse sinusoïdale du circuit RLC
9. Fréquence et amplitude de résonance
10. Bande passante et facteur de qualité

📖 1. Régimes transitoire et permanent

📝 Points essentiels

📌 La réponse d’un circuit à une excitation comprend un régime transitoire, associé à la solution homogène, puis un régime permanent, associé à la solution particulière.

• Lorsque le temps tend vers l’infini, la solution homogène tend vers zéro et la réponse du circuit est approximativement égale à la solution particulière.

• En régime permanent, une excitation sinusoïdale produit une réponse sinusoïdale.

💡 Astuce mémo

La solution homogène s’éteint ; la solution particulière demeure.

📖 2. Signaux sinusoïdaux et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal sinusoïdal : Un signal sinusoïdal s’écrit sous la forme $S(t)=S_M\cos(\omega t+\varphi)$, où $S_M$ est son amplitude, $\omega$ sa pulsation et $\varphi$ sa phase à l’origine des dates.
• Série de Fourier : La décomposition d’un signal périodique en une somme de signaux sinusoïdaux est appelée décomposition en série de Fourier.

★ À maîtriser

📐 Formule - La pulsation, la période et la fréquence sont liées par $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$.

Compléments

• Un signal périodique quelconque de fréquence $F_0$ peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples de $F_0$.

📖 3. Représentation complexe des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation complexe : La représentation complexe d’un signal sinusoïdal $S(t)=S_M\cos(\omega t+\varphi)$ est $\underline{S}(t)=S_M e^{j(\omega t+\varphi)}$, dont la partie réelle est le signal réel.

★ À maîtriser

• La dérivation d’un signal complexe sinusoïdal revient à le multiplier par $j\omega$.

Compléments

• L’amplitude complexe $\underline{S}_M=S_M e^{j\varphi}$ a pour module l’amplitude $S_M$ et pour argument la phase $\varphi$.

📐 Formule - L’intégration d’un signal complexe sinusoïdal revient à le multiplier par $\frac{1}{j\omega}$.

📖 4. Impédances des dipôles usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance complexe : L’impédance complexe d’un dipôle est le rapport de la tension complexe au courant complexe, $Z=\frac{U}{I}$, et s’exprime en ohms.

📝 Points essentiels

• L’impédance complexe d’un conducteur ohmique de résistance $R$ est $Z_R=R$.

📐 Formule - L’impédance complexe d’un condensateur de capacité $C$ est $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$.

📐 Formule - L’impédance complexe d’une bobine d’inductance $L$ est $Z_L=j\omega L$.

📖 5. Lois électrocinétiques en régime forcé

★ À maîtriser

• En régime sinusoïdal forcé, les lois des nœuds et des mailles restent valables.

Compléments

• Les ponts diviseurs de tension et de courant restent utilisables en régime sinusoïdal forcé en travaillant avec les impédances.

• Le théorème de Millman reste valable en régime sinusoïdal forcé.

📖 6. Résonance de courant du circuit RLC

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquences de coupure : Les pulsations de coupure $\omega_1$ et $\omega_2$ correspondent à une intensité égale à $I_{\max}/\sqrt{2}$.

★ À maîtriser

• Quand la fréquence d’excitation augmente depuis une valeur faible, l’amplitude du courant augmente jusqu’à un maximum à la résonance, puis diminue au-delà.

• La résonance de courant se produit à la pulsation $\omega_0$ pour laquelle l’intensité est maximale.

Compléments

• Dans l’expérience décrite, le circuit RLC comporte une résistance de 1 kiloohm, une inductance de 20 millihenrys et une capacité de 50 nanofarads.

📐 Formule - La largeur de bande est $\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$.

• Un facteur de qualité élevé correspond à une bande passante étroite et à une résonance prononcée.

📖 7. Mesure expérimentale de la résonance

★ À maîtriser

• Le tracé expérimental de la résonance représente l’intensité du courant en fonction de la pulsation en reportant, pour chaque fréquence, la valeur de courant correspondante.

Compléments

• Une autre méthode expérimentale consiste à balayer un intervalle de fréquences, choisi pour contenir la fréquence de résonance.

📖 8. Réponse sinusoïdale du circuit RLC

★ À maîtriser

• Pour une excitation sinusoïdale, le régime permanent du courant est sinusoïdal et s’écrit sous la forme $i(t)=I_0\cos(\omega t+\varphi)$, où $I_0$ est son amplitude et $\varphi$ son déphasage par rapport à l’excitation.

📐 Formule - L’amplitude du courant dans un circuit RLC série soumis à une tension d’amplitude $E_0$ vaut $I_0=\frac{E_0}{\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}}$.

Compléments

• En régime sinusoïdal forcé, la loi des mailles s’écrit en notation complexe $\underline{U_C}+\underline{U_R}+\underline{U_L}=\underline{E}$, avec $Z_C=\frac{1}{jC\omega}$, $Z_R=R$ et $Z_L=jL\omega$.

📐 Formule - La pulsation propre du circuit LC est $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

📐 Formule - En posant $X=\frac{\omega}{\omega_0}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$, l’amplitude s’écrit $I_0=\frac{E_0/R}{\sqrt{1+Q^2(X-\frac{1}{X})^2}}$.

📖 9. Fréquence et amplitude de résonance

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence de résonance du circuit RLC série est $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

• L’amplitude du courant est maximale pour $X=1$, donc lorsque la pulsation d’excitation égale la pulsation propre, $\omega_R=\omega_0$.

Compléments

📐 Formule - À la résonance, l’amplitude maximale du courant vaut $I_{0,\max}=\frac{E_0}{R}$.

• L’application numérique présentée donne une fréquence de résonance d’environ 5 kHz et une amplitude de tension $U_R$ d’environ 1,98 V à cette fréquence.

💡 Astuce mémo

Quand la fréquence d’excitation atteint la fréquence propre, l’amplitude du courant est maximale.

📖 10. Bande passante et facteur de qualité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquences de coupure : Les fréquences de coupure $\omega_1$ et $\omega_2$ sont les pulsations pour lesquelles l’amplitude du courant vaut $I_{0,\max}/\sqrt{2}$.
• Bande passante : La bande passante en pulsation est la différence entre les deux pulsations de coupure, soit $\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$.
• Facteur de qualité : Le facteur de qualité énergétique est $Q=2\pi\frac{\text{énergie stockée dans le circuit}}{\text{énergie perdue}}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le circuit RLC série, la bande passante et le facteur de qualité vérifient $\Delta\omega=\frac{\omega_0}{Q}$, soit $Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}$.

• Un facteur de qualité élevé correspond à une bande passante étroite et à une résonance plus sélective, tandis qu’un facteur faible correspond à une bande large et à un pic moins marqué.

Compléments

📐 Formule - Pour le circuit RLC série, les pulsations de coupure sont $\omega_1=\frac{\omega_0}{2Q}(\sqrt{1+4Q^2}-1)$ et $\omega_2=\frac{\omega_0}{2Q}(\sqrt{1+4Q^2}+1)$.

• Dans un circuit RLC série, une résistance plus élevée correspond à un facteur de qualité plus faible.

• Le résonateur absorbe le maximum d’énergie lorsque l’excitateur impose la fréquence de résonance.