Fiche de révision : Relations et applications

📋 Plan du Cours

1. Couples et produits cartésiens
2. Relations et opérations
3. Propriétés des relations binaires
4. Équivalences et classes
5. Ordres et bornes
6. Fonctions et applications
7. Injectivité et surjectivité
8. Images directe et réciproque

📖 1. Couples et produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Le produit cartésien de E et F est l’ensemble E×F={(x,y) ; x∈E et y∈F}.

★ À maîtriser

📌 Un couple (x,y) est égal à (x′,y′) si et seulement si x=x′ et y=y′, et contrairement aux ensembles, ses deux positions sont ordonnées.

Compléments

• Pour E={a,b,c} et F={1,2}, E×F={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}.

💡 Astuce mémo

Dans un couple, la première et la deuxième place comptent ; dans un ensemble, l’ordre ne compte pas.

📖 2. Relations et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation : Triplet (E,Γ,F) où Γ est une partie de E×F ; E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et Γ le graphe.
• Relation composée : Si R relie E à F et S relie F à G, alors S◦R relie x à z lorsqu’il existe y∈F tel que xRy et ySz.
• Relation réciproque : La relation réciproque R⁻¹ de R, de F vers E, vérifie yR⁻¹x si et seulement si xRy.

📝 Points essentiels

📌 La composition des relations est associative : (T◦S)◦R=T◦(S◦R).

📌 Pour toute relation R, (R⁻¹)⁻¹=R et le complémentaire du complémentaire de R vaut R ; de plus, (S◦R)⁻¹=R⁻¹◦S⁻¹.

💡 Astuce mémo

Composer, inverser, compléter : trois opérations sur les relations.

📖 3. Propriétés des relations binaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation binaire : Une relation d’un ensemble E vers lui-même est appelée relation binaire dans E.
• Réflexivité : Une relation binaire R dans E est réflexive lorsque tout x∈E vérifie xRx.
• Symétrie : Une relation binaire R dans E est symétrique lorsque xRy implique yRx pour tous x,y∈E.
• Antisymétrie : Une relation binaire R dans E est antisymétrique lorsque xRy et yRx impliquent x=y pour tous x,y∈E.
• Transitivité : Une relation binaire R dans E est transitive lorsque xRy et yRz impliquent xRz pour tous x,y,z∈E.
• Relation induite : La relation induite par R dans A⊂E est la relation binaire RA dans A définie par xRAy si et seulement si xRy pour tous (x,y)∈A².

💡 Astuce mémo

RST : réflexive, symétrique, transitive.

📖 4. Équivalences et classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence est une relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
• Classe d’équivalence : La classe d’équivalence de x modulo R est clR(x)={y∈E ; xRy}, et chacun de ses éléments est un représentant de cette classe.
• Ensemble quotient : L’ensemble quotient E/R est l’ensemble des classes d’équivalence modulo R : E/R={clR(x) ; x∈E}.

📝 Points essentiels

📌 Les éléments d’une même classe d’équivalence sont en relation deux à deux, et E/R constitue donc une partition de E.

💡 Astuce mémo

Réflexivité + symétrie + transitivité → classes qui partitionnent l’ensemble.

📖 5. Ordres et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Une relation d’ordre est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive.
• Ordre total : Un ordre est total lorsque tous les éléments de l’ensemble sont comparables deux à deux ; sinon il est partiel.
• Majorant et minorant : x est un majorant de A si tout a∈A vérifie a≼x, et x est un minorant de A si tout a∈A vérifie x≼a.
• Plus grand élément : M∈A est le plus grand élément de A lorsqu’il vérifie a≼M pour tout a∈A ; le plus petit élément m∈A vérifie m≼a pour tout a∈A.
• Borne supérieure : La borne supérieure Sup(A) est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de A.
• Borne inférieure : La borne inférieure Inf(A) est le plus grand élément de l’ensemble des minorants de A.

💡 Astuce mémo

Majorant et minorant peuvent être hors de A ; plus grand et plus petit appartiennent à A.

📖 6. Fonctions et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction de E vers F est une relation telle que tout élément de E est en relation avec au plus un élément de F.
• Domaine de définition : Le domaine de définition Def(f) est l’ensemble des x∈E pour lesquels il existe y∈F tel que y=f(x).
• Application : Une application f:E→F est une fonction dont le domaine de définition est E, donc chaque élément de E est en relation avec exactement un élément de F.

📝 Points essentiels

📌 La composée de deux fonctions est une fonction, et la composée de deux applications est une application.

💡 Astuce mémo

Une fonction relie chaque élément à au plus une image ; une application le relie exactement à une image.

📖 7. Injectivité et surjectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Une application f:E→F est injective lorsque f(x)=f(x′) implique x=x′ ; chaque élément de F admet alors au plus un antécédent.
• Surjectivité : Une application f:E→F est surjective lorsque tout y∈F possède au moins un antécédent x∈E tel que f(x)=y.
• Bijectivité : Une application est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective, de sorte que chaque élément de F possède exactement un antécédent.

★ À maîtriser

📌 La composée de deux injections, de deux surjections ou de deux bijections possède respectivement la même propriété.

📌 La relation réciproque d’une application est une application si et seulement si l’application initiale est bijective.

Compléments

• L’application identique IdE:E→E associe x à x, l’injection canonique de A dans E associe x à x, et l’application constante a:E→F associe tout x à a.

📌 Une application f:E→F est bijective si et seulement s’il existe g:F→E telle que g◦f=IdE et f◦g=IdF ; dans ce cas g=f⁻¹.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : exactement un.

📖 8. Images directe et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : Pour f:E→E′ et A⊂E, l’image directe f(A) est l’ensemble des x′∈E′ tels qu’il existe a∈A avec x′=f(a).
• Image réciproque : Pour f:E→E′ et A′⊂E′, l’image réciproque f⁻¹(A′) est l’ensemble des x∈E tels que f(x)∈A′.

📝 Points essentiels

• Lorsque f est bijective, la notation f⁻¹(A′) peut désigner à la fois l’image réciproque par f et l’image directe de A′ par f⁻¹, et ces deux ensembles coïncident.

💡 Astuce mémo

L’image directe part d’une partie du domaine ; l’image réciproque part d’une partie de l’arrivée.

📊 Tableaux de synthèse

Types de relations binaires

Propriétés des applications