QCM : Relations et applications — 25 questions

Explication

Deux couples ordonnés sont égaux lorsque leurs coordonnées correspondantes sont égales. Le fait de contenir les mêmes éléments ne suffit pas, car l’ordre des positions distingue par exemple $\left(x,y\right)$ de $\left(y,x\right)$.

Explication

Par définition, $E\times F$ rassemble les couples $\left(x,y\right)$ tels que $x\in E$ et $y\in F$. L’ordre des ensembles est donc déterminant pour les deux composantes.

Explication

Le graphe $\Gamma$ d’une relation de $E$ vers $F$ est une partie de $E\times F$. Les ensembles $E$ et $F$ jouent respectivement les rôles de départ et d’arrivée.

Explication

La composition $S\circ R$ enchaîne d’abord $R$, puis $S$ : il faut donc trouver $y\in F$ avec $xRy$ et $ySz$. La présence de $S$ à gauche dans la notation ne change pas cet ordre d’application.

Explication

La relation réciproque va de $F$ vers $E$ et inverse chaque couple : $yR^{-1}x$ équivaut à $xRy$. Le complémentaire est une opération différente, car il conserve les ensembles de départ et d’arrivée et modifie l’appartenance au graphe.

Explication

Une relation binaire dans $E$ est une relation de $E$ vers lui-même, donc son départ et son arrivée sont tous deux $E$. Une relation générale de $E$ vers $F$ ne vérifie pas cette condition si les deux ensembles diffèrent.

Explication

La réflexivité exige que chaque élément soit en relation avec lui-même, c’est-à-dire que $xRx$ pour tout $x\in E$. La relation entre tous les couples correspond à une relation universelle, tandis que les autres propositions décrivent la symétrie ou l’antisymétrie.

Explication

La symétrie signifie que tout lien peut être parcouru dans les deux sens : de $xRy$, on déduit $yRx$. L’implication avec trois éléments décrit la transitivité, tandis que la condition conduisant à $x=y$ décrit l’antisymétrie.

Explication

L’antisymétrie impose que deux éléments liés dans les deux sens soient identiques. Elle ne demande pas que les liens soient réciproques, propriété qui caractérise la symétrie.

Explication

Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive. La connexité caractérise plutôt certains ordres totaux et ne fait pas partie de cette définition.

Explication

La classe de $x$ regroupe les éléments $y$ de $E$ qui vérifient $xRy$, et chacun de ces éléments est un représentant de la classe. Une classe ne rassemble donc pas des relations ou des éléments exclus de la relation.

Explication

Par définition, $E/R$ est l’ensemble des classes d’équivalence $\{\operatorname{cl}_R(x);x\in E\}$, alors que $E$ est l’ensemble de départ des éléments. Confondre les deux ensembles revient à confondre une classe avec ses représentants.

Explication

Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. La symétrie appartient à la définition d’une relation d’équivalence, et non à celle d’un ordre.

Explication

Un ordre total rend comparables deux à deux tous les éléments de l’ensemble. Dans un ordre partiel, certaines paires peuvent ne pas être comparables, sans que cela empêche la relation d’être un ordre.

Explication

Un majorant est situé au-dessus de chaque élément de $A$, donc $a\preceq x$ pour tout $a\in A$. La condition inverse définit un minorant, et un majorant n’a pas besoin d’appartenir à $A$.

Explication

La borne supérieure est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de $A$. Elle est donc un majorant, mais elle peut être extérieure à $A$, contrairement au plus grand élément.

Explication

Une fonction impose qu’un élément de $E$ ait au plus une image dans $F$, même si certains éléments de $E$ peuvent ne pas avoir d’image. La surjectivité, qui concerne les antécédents des éléments de $F$, n’est pas requise.

Explication

Le domaine de définition rassemble les éléments de $E$ auxquels la fonction associe une valeur dans $F$. Les éléments sans image n’en font donc pas partie, tandis que le nombre d’antécédents concerne une autre propriété.

Explication

Une application est une fonction définie pour chaque élément de $E$ et leur associant exactement une valeur de $F$. Une fonction générale peut laisser certains éléments de $E$ hors de son domaine de définition.

Explication

Cette implication signifie que deux éléments ayant la même image sont nécessairement égaux, ce qui caractérise l’injectivité. La surjectivité concerne plutôt l’existence d’au moins un antécédent pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée.

Explication

Une application est surjective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins un élément du domaine. La condition d’unicité de l’antécédent correspond à l’injectivité, tandis que l’existence et l’unicité caractérisent la bijectivité.

Explication

La bijectivité réunit l’injectivité et la surjectivité : chaque élément de $F$ possède alors exactement un antécédent. Une application constante ne satisfait généralement pas l’injectivité, et plusieurs antécédents ne garantissent pas l’unicité.

Explication

La relation réciproque est une application lorsque chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent, ce qui équivaut à la bijectivité de l’application initiale. L’injectivité seule ne garantit pas que tous les éléments d’arrivée soient atteints, et la surjectivité seule ne garantit pas l’unicité.

Explication

L’image directe est formée par les éléments de l’ensemble d’arrivée qui s’écrivent $f(a)$ avec $a\in A$. Elle part donc d’une partie du domaine, contrairement à l’image réciproque, qui part d’une partie de l’ensemble d’arrivée.

Explication

L’image réciproque rassemble les antécédents situés dans le domaine dont l’image appartient à la partie $A'$ de l’ensemble d’arrivée. Elle ne désigne donc pas les images produites par une partie du domaine, qui constituent l’image directe.