QCM : Statistique descriptive univariée et bivariée — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans une étude portant sur les étudiants d’une université, que représente une variable statistique ?

Un caractère observé ou mesuré pour chaque étudiant étudié
Une valeur moyenne calculée à partir des étudiants observés
L’ensemble complet des étudiants de l’université étudiée
Le sous-ensemble d’étudiants sélectionné dans l’université

Un caractère observé ou mesuré pour chaque étudiant étudié

Explication

Une variable statistique est un caractère associé à chaque individu de l’échantillon, comme l’âge ou la filière. L’échantillon désigne le sous-ensemble étudié, tandis que la population regroupe l’ensemble de référence.

2. Laquelle de ces classifications décrit correctement les variables qualitatives et quantitatives ?

Une variable qualitative possède des modalités, tandis qu’une variable quantitative possède des valeurs mesurables
Une variable qualitative décrit une population, tandis qu’une variable quantitative décrit un échantillon
Une variable qualitative est toujours numérique, tandis qu’une variable quantitative est toujours exprimée par un mot
Une variable qualitative possède des valeurs mesurables, tandis qu’une variable quantitative possède des modalités

Une variable qualitative possède des modalités, tandis qu’une variable quantitative possède des valeurs mesurables

Explication

Une variable qualitative prend des modalités, comme une couleur ou une catégorie, alors qu’une variable quantitative prend des valeurs mesurables, comme une taille. Les trois autres propositions inversent ou confondent ces notions.

3. Quelle distinction permet de différencier une variable quantitative discrète d’une variable quantitative continue ?

La variable discrète prend des valeurs isolées, tandis que la variable continue peut prendre toute valeur d’un intervalle réel
La variable discrète se mesure en unités physiques, tandis que la variable continue se compte parmi des individus
La variable discrète décrit des catégories, tandis que la variable continue décrit des rangs ordonnés
La variable discrète appartient à une population, tandis que la variable continue appartient à un échantillon

La variable discrète prend des valeurs isolées, tandis que la variable continue peut prendre toute valeur d’un intervalle réel

Explication

Une variable quantitative discrète prend des valeurs isolées dans un ensemble fini ou dénombrable, tandis qu’une variable continue prend ses valeurs dans un intervalle de ℝ. Les autres réponses confondent cette distinction avec celle entre variables qualitatives et quantitatives.

4. Quelle propriété caractérise la médiane d’une série statistique ?

Elle partage les observations de sorte qu’au moins la moitié est de chaque côté de sa valeur
Elle additionne toutes les observations puis divise leur somme par l’effectif total
Elle donne davantage de poids aux observations qui s’éloignent de la valeur centrale
Elle correspond à la différence entre la plus grande et la plus petite observation

Elle partage les observations de sorte qu’au moins la moitié est de chaque côté de sa valeur

Explication

La médiane est un nombre tel que la moitié des observations lui sont inférieures ou égales et l’autre moitié lui sont supérieures ou égales. La deuxième proposition décrit la moyenne, tandis que les deux dernières concernent d’autres idées statistiques.

5. Une série ordonnée comporte 6 observations. Quelle expression donne sa médiane ?

Me=x(3)Me=x_{(3)}
Me=x(4)Me=x_{(4)}
Me=x(3)+x(4)2Me=\frac{x_{(3)}+x_{(4)}}{2}
Me=x(1)+x(6)2Me=\frac{x_{(1)}+x_{(6)}}{2}

$$Me=\frac{x_{(3)}+x_{(4)}}{2}$$

Explication

Pour un effectif pair N=6N=6, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, d’indices N/2=3N/2=3 et N/2+1=4N/2+1=4. Prendre une seule de ces valeurs ne convient qu’à une règle différente et ne fournit pas la médiane d’un effectif pair.

6. Quelle formule définit la moyenne d’une série de NN valeurs x1,…,xNx_1,\ldots,x_N ?

xˉ=x1+xN2\bar{x}=\frac{x_1+x_N}{2}
xˉ=1N∑i=1Nxi\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i
xˉ=1N∑i=1N(xi−xˉ)\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})
xˉ=∑i=1N(xi−xˉ)2\bar{x}=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2

$$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$$

Explication

La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par leur nombre, soit 1N∑i=1Nxi\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i. La deuxième expression mesure des écarts centrés, la troisième concerne une somme de carrés et la dernière utilise seulement deux observations.

7. Une série est exprimée en kilogrammes. Dans quelle unité s’expriment sa variance et son écart-type ?

La variance et l’écart-type sont tous deux en kilogrammes
La variance est en kilogrammes et l’écart-type en kilogrammes carrés
La variance et l’écart-type sont tous deux sans unité
La variance est en kilogrammes carrés et l’écart-type en kilogrammes

La variance est en kilogrammes carrés et l’écart-type en kilogrammes

Explication

La variance utilise les carrés des écarts, donc elle s’exprime en kilogrammes carrés, tandis que l’écart-type est sa racine carrée et s’exprime en kilogrammes. Confondre ces unités revient à négliger la différence entre ces deux mesures de dispersion.

8. Si Q1=12Q1=12 et Q3=20Q3=20, quelle est la valeur de l’écart interquartile ?

8
20
32
12

8

Explication

L’écart interquartile se calcule par Q3−Q1Q3-Q1, donc ici 20−12=820-12=8. Les valeurs 12 et 20 sont les quartiles eux-mêmes, tandis que 32 correspond à leur somme.

9. Dans une distribution normale, quelle proportion approximative des valeurs se situe entre xˉ−2σ\bar{x}-2\sigma et xˉ+2σ\bar{x}+2\sigma ?

Environ 95 %
Environ 50 %
Environ 68 %
Plus de 99 %

Environ 95 %

Explication

Dans une distribution normale, environ 95 % des valeurs se trouvent à moins de deux écarts-types de la moyenne. Environ 68 % correspond à l’intervalle d’un écart-type, tandis que plus de 99 % correspond à environ trois écarts-types.

10. Quels éléments sont représentés par une boîte à moustaches ?

L’échelle des valeurs, les quartiles, la médiane, les moustaches et les valeurs suspectes éventuelles
Les fréquences cumulées, le mode, la moyenne, les quartiles et les erreurs de mesure
La moyenne, l’écart-type, la variance, la médiane et les intervalles de confiance
Les valeurs minimales et maximales, la moyenne, la covariance et les coefficients de corrélation

L’échelle des valeurs, les quartiles, la médiane, les moustaches et les valeurs suspectes éventuelles

Explication

Une boîte à moustaches montre l’échelle des valeurs, Q1, la médiane, Q3, les moustaches et les éventuelles valeurs suspectes. Elle ne représente pas directement la moyenne, la variance ou la covariance.

11. Pour une série dont Q1=10Q1=10 et Q3=18Q3=18, quelle borne théorique détermine la moustache supérieure ?

La plus grande valeur égale à la médiane augmentée de 88
La plus grande valeur supérieure ou égale à 3030
La plus grande valeur inférieure ou égale à 2222
La plus grande valeur inférieure ou égale à 3030

La plus grande valeur inférieure ou égale à $$30$$

Explication

L’écart interquartile vaut 18−10=818-10=8, donc la borne supérieure est Q3+1,5×8=30Q3+1,5\times8=30; la moustache atteint la plus grande observation ne dépassant pas cette borne. La valeur 2222 correspondrait à une addition de l’écart interquartile sans le facteur 1,51,5.

12. Que cherche à minimiser la méthode des moindres carrés pour choisir une droite d’ajustement ?

La somme des distances horizontales entre les observations et leurs projections sur la droite
La différence entre la variance de la variable expliquée et celle de la variable explicative
La somme des écarts absolus entre les valeurs observées et les valeurs moyennes de leurs variables
La somme des carrés des distances verticales entre les observations et leurs projections sur la droite

La somme des carrés des distances verticales entre les observations et leurs projections sur la droite

Explication

La droite des moindres carrés est choisie pour minimiser la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et les valeurs prédites. Elle ne minimise pas les distances horizontales ni une simple somme d’écarts absolus.

13. Quelle expression définit la covariance empirique de XX et YY pour nn observations ?

Cov⁡(X,Y)=1n∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
Cov⁡(X,Y)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2(yi−yˉ)2\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2(y_i-\bar{y})^2
Cov⁡(X,Y)=1n∑i=1n(xi−yi)(xˉ−yˉ)\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(\bar{x}-\bar{y})
Cov⁡(X,Y)=1n∑i=1n(xi+xˉ)(yi+yˉ)\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+\bar{x})(y_i+\bar{y})

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

Explication

La covariance moyenne les produits des écarts de chaque variable à sa moyenne, ce qui donne aussi xy‾−xˉyˉ\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}. Les autres expressions utilisent des carrés ou des différences qui ne mesurent pas cette co variation.

14. Pour la droite de régression de YY en XX, quelles formules donnent sa pente et son ordonnée à l’origine ?

a=xˉyˉCov⁡(X,Y)a=\frac{\bar{x}\bar{y}}{\operatorname{Cov}(X,Y)} et b=σY−aσXb=\sigma_Y-a\sigma_X
a=Cov⁡(X,Y)σY2a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_Y^2} et b=xˉ−ayˉb=\bar{x}-a\bar{y}
a=σX2Cov⁡(X,Y)a=\frac{\sigma_X^2}{\operatorname{Cov}(X,Y)} et b=yˉ+axˉb=\bar{y}+a\bar{x}
a=Cov⁡(X,Y)σX2a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2} et b=yˉ−axˉb=\bar{y}-a\bar{x}

$$a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2}$$ et $$b=\bar{y}-a\bar{x}$$

Explication

La régression de YY en XX s’écrit Y=aX+bY=aX+b avec une pente obtenue en divisant la covariance par la variance de XX, puis une ordonnée calculée grâce aux moyennes. La variance de YY intervient dans d’autres relations, mais pas dans cette pente.

15. Une observation possède la valeur estimée y^i=12\hat y_i=12 et la valeur observée yi=15y_i=15. Quel est son résidu ?

ei=−3e_i=-3
ei=1512e_i=\frac{15}{12}
ei=27e_i=27
ei=3e_i=3

$$e_i=3$$

Explication

Le résidu est l’écart entre la valeur observée et la valeur estimée, soit ei=yi−y^i=15−12=3e_i=y_i-\hat y_i=15-12=3. La valeur estimée est produite par la droite de régression et ne se soustrait pas dans l’ordre inverse.

16. Quelle formule définit le coefficient de corrélation linéaire et quelle propriété vérifie-t-il ?

ρ(X,Y)=σXσYCov⁡(X,Y)\rho(X,Y)=\frac{\sigma_X\sigma_Y}{\operatorname{Cov}(X,Y)} et 0≤ρ(X,Y)≤10\leq\rho(X,Y)\leq1
ρ(X,Y)=Cov⁡(X,Y)σX2+σY2\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2} et −∞<ρ(X,Y)<∞-\infty<\rho(X,Y)<\infty
ρ(X,Y)=Cov⁡(X,Y)σXσY\rho(X,Y)=\operatorname{Cov}(X,Y)\sigma_X\sigma_Y et −1≤ρ(X,Y)≤1-1\leq\rho(X,Y)\leq1
ρ(X,Y)=Cov⁡(X,Y)σXσY\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} et −1≤ρ(X,Y)≤1-1\leq\rho(X,Y)\leq1

$$\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$$ et $$-1\leq\rho(X,Y)\leq1$$

Explication

La corrélation standardise la covariance en la divisant par le produit des écarts-types, et sa valeur appartient à l’intervalle [−1,1][-1,1]. Une division par des variances ou une multiplication par les écarts-types ne fournit pas cette définition.

17. Comment se décompose la variabilité totale de la variable expliquée dans une régression ?

SCEtotale=SCEexp−SCEresSCE_{totale}=SCE_{exp}-SCE_{res}
SCEtotale=SCEexp+SCEresSCE_{totale}=SCE_{exp}+SCE_{res}
SCEtotale=SCEexp×SCEresSCE_{totale}=SCE_{exp}\times SCE_{res}
SCEtotale=SCEres−SCEexpSCE_{totale}=SCE_{res}-SCE_{exp}

$$SCE_{totale}=SCE_{exp}+SCE_{res}$$

Explication

La variabilité totale est la somme de la variabilité expliquée par la régression et de la variabilité résiduelle. Une soustraction ou une multiplication ne correspond pas à cette décomposition.

18. Dans quelle situation un ajustement affine est-il fortement corrélé, tout en restant nécessaire d’examiner les résidus ?

Lorsque ρ(X,Y)=0\rho(X,Y)=0 et que les résidus sont répartis autour d’une courbe visible
Lorsque ∣ρ(X,Y)∣<0,8|\rho(X,Y)|<0,8 et que les résidus suivent une tendance régulière
Lorsque ∣ρ(X,Y)∣≤1|\rho(X,Y)|\leq1 et que les résidus ont une moyenne non nulle
Lorsque 0,8≤∣ρ(X,Y)∣≤10,8\leq|\rho(X,Y)|\leq1 et que le graphique des résidus ne présente pas de tendance

Lorsque $$0,8\leq|\rho(X,Y)|\leq1$$ et que le graphique des résidus ne présente pas de tendance

Explication

Une forte corrélation affine correspond à 0,8≤∣ρ(X,Y)∣≤10,8\leq|\rho(X,Y)|\leq1, mais la pertinence de l’ajustement exige aussi l’absence de tendance dans les résidus. Une corrélation élevée ne suffit donc pas si les résidus révèlent une structure.

19. Quelle implication entre indépendance et covariance est correcte pour deux variables XX et YY ?

Une covariance nulle et l’indépendance sont deux propriétés équivalentes dans tous les cas
L’indépendance implique une covariance nulle, mais une covariance nulle n’implique pas l’indépendance
L’indépendance implique une covariance positive, tandis qu’une covariance nulle implique une dépendance
Une covariance nulle implique l’indépendance, mais l’indépendance ne détermine pas la covariance

L’indépendance implique une covariance nulle, mais une covariance nulle n’implique pas l’indépendance

Explication

Lorsque XX et YY sont indépendantes, leur covariance est nulle. La réciproque n’est pas valable en général : une covariance nulle peut exister malgré une dépendance non linéaire.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une variable statistique ?

Un caractère associé à chaque individu d’un échantillon.

Quelle différence y a-t-il entre variable qualitative et quantitative ?

La qualitative prend des modalités, la quantitative des valeurs mesurables.

Qu'est-ce qui distingue une variable quantitative discrète d'une continue ?

La discrète prend des valeurs isolées, la continue des valeurs dans un intervalle de ℝ.

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