Fiche de révision : Statistique descriptive univariée et bivariée

📋 Plan du Cours

1. Types de variables statistiques
2. Position d’une série statistique
3. Dispersion et quartiles
4. Lecture d’un boxplot
5. Régression par moindres carrés
6. Qualité et limites de l’ajustement

📖 1. Types de variables statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable statistique : Caractère associé à chaque individu d’un échantillon, lequel constitue un sous-ensemble d’une population.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative prend des modalités, tandis qu’une variable quantitative prend des valeurs mesurables.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs isolées dans un ensemble fini ou dénombrable, tandis qu’une variable quantitative continue prend ses valeurs dans un intervalle de ℝ.

💡 Astuce mémo

Qualitative = modalités ; quantitative = valeurs mesurables

📖 2. Position d’une série statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Nombre réel tel que la moitié des observations lui sont inférieures ou égales et la moitié lui sont supérieures ou égales.
• Moyenne : La moyenne d’une série de N valeurs est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une série ordonnée d’effectif impair N, la médiane vérifie $Me=x_{(N+1)/2}$ ; pour un effectif pair, elle vérifie $Me=\frac{x_{N/2}+x_{N/2+1}}{2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une série pondérée, la moyenne est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_i x_i$ avec $\sum_{i=1}^{p}n_i=N$.

📐 Formule — La somme des écarts à la moyenne est nulle : $\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})=0$.

💡 Astuce mémo

Médiane résistante aux extrêmes, moyenne sensible aux extrêmes

📖 3. Dispersion et quartiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance d’une série est $\sigma_X^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$ et son écart-type est $\sigma_X=\sqrt{\sigma_X^2}$.
• Écart interquartile : L’intervalle interquartile est [Q1; Q3] et son écart interquartile vaut $Q3-Q1$.

★ À maîtriser

• Dans une distribution normale, environ 68 % des valeurs sont comprises entre $\bar{x}-\sigma$ et $\bar{x}+\sigma$, environ 95 % entre $\bar{x}-2\sigma$ et $\bar{x}+2\sigma$, et plus de 99 % entre $\bar{x}-3\sigma$ et $\bar{x}+3\sigma$.

Compléments

📐 Formule — La variance peut aussi s’écrire $\sigma_X^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2-\bar{x}^2$.

💡 Astuce mémo

Étendue → variance → écart-type → quartiles

📖 4. Lecture d’un boxplot

★ À maîtriser

📌 La moustache inférieure s’arrête à la plus petite valeur supérieure ou égale à $Q1-1{,}5(Q3-Q1)$, tandis que la moustache supérieure s’arrête à la plus grande valeur inférieure ou égale à $Q3+1{,}5(Q3-Q1)$.

• Un boxplot représente:
  • l’échelle des valeurs
  • Q1
  • la médiane
  • Q3
  • les moustaches
  • les éventuelles valeurs suspectes

Compléments

• Dans la boîte à moustaches de Tukey, une distribution normale devrait contenir 99,3 % des observations entre les moustaches et environ 0,7 % d’observations suspectes.

💡 Astuce mémo

Une boîte entre Q1 et Q3, traversée par la médiane et prolongée par deux moustaches

📖 5. Régression par moindres carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : La covariance de X et Y est $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$.
• Résidu : Le résidu associé à l’observation i est $e_i=y_i-\hat{y}_i$, où $\hat{y}_i=ax_i+b$ est la valeur estimée par la droite de régression.

★ À maîtriser

📐 Formule — La droite de régression de Y en X est $Y=aX+b$ avec $a=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$.

• La méthode des moindres carrés détermine la droite d’ajustement qui minimise la somme des carrés des distances verticales entre les points observés et leurs projections sur la droite.

Compléments

📌 Les résidus d’une régression ont une somme et une moyenne nulles.

💡 Astuce mémo

Minimiser les écarts au carré → obtenir la droite d’ajustement

📖 6. Qualité et limites de l’ajustement

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le coefficient de corrélation linéaire est $\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ et vérifie $-1\leq\rho(X,Y)\leq1$.

📐 Formule — La variabilité totale se décompose selon $SCE_{totale}=SCE_{exp}+SCE_{res}$.

📐 Formule — Le coefficient de détermination est $\rho^2(X,Y)=\frac{SCE_{exp}}{SCE_{totale}}$ et représente la part de la variabilité de Y expliquée par la régression.

📌 Un ajustement affine est considéré comme fortement corrélé lorsque $0{,}8\leq|\rho(X,Y)|\leq1$, mais l’absence de tendance dans le graphique des résidus reste nécessaire pour juger sa pertinence.

📌 Si X et Y sont indépendantes, alors leur covariance est nulle, mais une covariance nulle n’implique pas l’indépendance.

💡 Astuce mémo

Corrélation n’est pas causalité ; covariance nulle n’est pas indépendance

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres de dispersion