Quand deux couples (x,y) et (x′,y′) sont-ils égaux ?
Ils sont égaux si et seulement si x = x′ et y = y′.
Quelle différence principale distingue un couple d'un ensemble ?
Les positions dans un couple sont ordonnées.
Qu'est-ce que le produit cartésien de deux ensembles E et F ?
C'est l'ensemble des couples (x,y) avec x dans E et y dans F.
Qu'est-ce qu'une relation de E vers F ?
Un triplet (E,Γ,F) avec Γ une partie de E×F.
Quand la relation composée S◦R relie-t-elle x à z ?
Lorsqu'il existe y∈F tel que xRy et ySz.
Qu'est-ce que la relation réciproque R⁻¹ de R ?
Une relation de F vers E vérifiant yR⁻¹x si et seulement si xRy.
Qu'est-ce qu'une relation binaire dans un ensemble E ?
Une relation d'un ensemble E vers lui-même.
Quand une relation binaire R dans E est-elle réflexive ?
Lorsque tout x∈E vérifie xRx.
Quelle condition caractérise la symétrie d'une relation binaire R dans E ?
xRy implique yRx pour tous x,y∈E.
Quelle condition caractérise l'antisymétrie d'une relation binaire R dans E ?
xRy et yRx impliquent x=y pour tous x,y∈E.
Quelle condition caractérise la transitivité d'une relation binaire R dans E ?
xRy et yRz impliquent xRz pour tous x,y,z∈E.
Quelles propriétés caractérisent une relation d'équivalence ?
Elle est réflexive, symétrique et transitive.
Comment se définit la classe d'équivalence de x modulo R ?
C'est l'ensemble des y de E tels que xRy.
Que représente chaque élément d'une classe d'équivalence ?
Un représentant de cette classe.
Qu'est-ce que l'ensemble quotient E/R ?
L'ensemble des classes d'équivalence modulo R.
Comment s'écrit formellement l'ensemble quotient E/R ?
Quelles sont les trois propriétés d'une relation d'ordre ?
Réflexive, antisymétrique et transitive.
Quand un ordre est-il dit total ?
Lorsque tous les éléments sont comparables deux à deux.
Qu'est-ce qu'un majorant d'un ensemble A ?
Un élément x tel que tout a∈A vérifie a≼x.
Qu'est-ce qu'un minorant d'un ensemble A ?
Un élément x tel que tout a∈A vérifie x≼a.
Quelle condition caractérise le plus grand élément M d'un ensemble A ?
Pour tout a∈A, a≼M.
Quelle condition caractérise le plus petit élément m d'un ensemble A ?
Pour tout a∈A, m≼a.
Qu'est-ce qu'une fonction de E vers F ?
Une relation où chaque élément de E est lié à au plus un élément de F.
Que désigne le domaine de définition Def(f) d'une fonction ?
L'ensemble des x dans E pour lesquels y=f(x) existe dans F.
Qu'est-ce qu'une application f:E→F ?
Une fonction définie sur tout E, chaque élément lié à exactement un élément de F.
Qu'impose l'injectivité d'une application f:E→F sur les antécédents?
Chaque élément de F admet au plus un antécédent.
Quelle condition caractérise la surjectivité d'une application f:E→F?
Tout élément y de F possède au moins un antécédent x dans E tel que f(x)=y.
Quand une application est-elle bijective?
Lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.
Que garantit la bijectivité sur les antécédents des éléments de F?
Chaque élément de F possède exactement un antécédent.
Quelle propriété possède la composée de deux injections?
Elle est une injection.
Quand la relation réciproque d'une application est-elle une application?
Si et seulement si l'application initiale est bijective.
Qu'est-ce que l'image directe f(A) pour f:E→E′ et A⊂E ?
L'ensemble des x′∈E′ tels qu'il existe a∈A avec x′=f(a).
Qu'est-ce que l'image réciproque f⁻¹(A′) pour f:E→E′ et A′⊂E′ ?
L'ensemble des x∈E tels que f(x)∈A′.
Quel est le produit cartésien de E={a,b,c} et F={1,2} ?
E×F = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}.
Quelle propriété satisfait la composition des relations ?
Elle est associative.
Que vaut (R⁻¹)⁻¹ pour toute relation R ?
Elle vaut R.
Que vaut le complémentaire du complémentaire d'une relation R ?
Il vaut R.
Quelle relation vérifie (S◦R)⁻¹ ?
Elle vaut R⁻¹◦S⁻¹.
Comment se définit la relation induite RA dans A⊂E ?
xRAy si et seulement si xRy pour tous (x,y)∈A².
Que peut-on dire des éléments d'une même classe d'équivalence ?
Ils sont en relation deux à deux.
Quelle structure forme l'ensemble quotient E/R sur E ?
Une partition de E.
Comment se définit la borne supérieure Sup(A) d'un ensemble A ?
C'est le plus petit élément des majorants de A.
Comment se définit la borne inférieure Inf(A) d'un ensemble A ?
C'est le plus grand élément des minorants de A.
Que produit la composée de deux fonctions ?
Une fonction.
Que fait l'application identique IdE:E→E?
Elle associe chaque élément x à lui-même.
Quelle condition équivaut à la bijectivité d'une application f:E→F?
Il existe g:F→E telle que g◦f=IdE et f◦g=IdF.
Que désigne la notation f⁻¹(A′) lorsque f est bijective ?
À la fois l'image réciproque par f et l'image directe de A′ par f⁻¹.
Que peut-on dire des ensembles image réciproque par f et image directe par f⁻¹ quand f est bijective ?
Ces deux ensembles coïncident.
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1. Dans quelles conditions deux couples ordonnés et sont-ils égaux ?
2. Quelle condition caractérise un couple appartenant au produit cartésien ?
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