QCM : Relations et structures d’ordre (11 questions)

Question 1

1. Quelle description définit correctement une relation $R$ de $A$ dans $B$ ?

Un sous-ensemble de

A \cup B

contenant les éléments communs aux deux ensembles

Un sous-ensemble de

A \times B

reliant certains éléments de

A

à certains éléments de

B

Une partition de

A \times B

en classes d’éléments correspondants

Une application associant chaque élément de

A

à un unique élément de

B

Explication

Une relation de $A$ dans $B$ est formée de couples appartenant à $A \times B$ , certains couples étant déclarés en relation. Une application imposerait en plus une image unique pour chaque élément de $A$ , condition qui n’est pas requise ici.

Answer

Un sous-ensemble de $$A \times B$$ reliant certains éléments de $$A$$ à certains éléments de $$B$$

Question 2

2. Quelle représentation convient à une relation binaire finie en plus d’un graphe, d’un diagramme cartésien, d’une matrice booléenne et d’un diagramme sagittal ?

Une droite graduée ordonnée

Un diagramme de Venn pondéré

Un tableau de variations

Un graphe orienté

Explication

Une relation binaire finie peut aussi être décrite par un graphe orienté, où les éléments sont des sommets et les couples en relation des arcs. Les autres représentations proposées ne constituent pas les formes indiquées pour cette relation.

Answer

Un graphe orienté

Question 3

3. Si $R$ est une relation de $A$ dans $B$ , que signifie $b\ R^{-1}\ a$ ?

On a

a\ R\ b

, et la relation inverse reste définie de

A

vers

B

On a

b\ R\ a

, et les deux ensembles de départ et d’arrivée restent inchangés

On a

a\ R\ b

, et la relation inverse va de

B

vers

A

On a

b\ R\ a

, et la relation inverse va de

A

vers

B

Explication

Par définition, $b\ R^{-1}\ a$ équivaut à $a\ R\ b$ , avec échange des ensembles de départ et d’arrivée. Confondre cet échange avec une simple inversion des lettres conserve à tort le sens initial de la relation.

Answer

On a $$a\ R\ b$$, et la relation inverse va de $$B$$ vers $$A$$

Question 4

4. Pour des relations $R_1$ de $A$ vers $B$ et $R_2$ de $B$ vers $C$ , dans quel cas a-t-on $a\ (R_2 \circ R_1)\ c$ ?

Lorsqu’il existe

b \in B

tel que

a\ R_1\ c

et

b\ R_2\ a

Lorsqu’il existe

b \in B

tel que

a\ R_2\ b

et

b\ R_1\ c

Lorsqu’il existe

b \in B

tel que

a\ R_2\ c

et

b\ R_1\ b

Lorsqu’il existe

b \in B

tel que

a\ R_1\ b

et

b\ R_2\ c

Explication

La composée suit d’abord $R_1$ de $A$ vers $B$ , puis $R_2$ de $B$ vers $C$ , avec un élément intermédiaire $b$ . L’ordre inversé proposé ne respecte pas les ensembles de départ et d’arrivée des deux relations.

Answer

Lorsqu’il existe $$b \in B$$ tel que $$a\ R_1\ b$$ et $$b\ R_2\ c$$

Question 5

5. Que signifie une relation d’équivalence sur un ensemble ?

Une relation qui est réflexive, symétrique et transitivement fermée.

Une relation qui est réflexive, symétrique et antisymétrique.

Une relation qui est réflexive, symétrique et transitive.

Une relation qui est réflexive, antisymétrique et transitive.

Explication

Une relation d’équivalence doit être réflexive, symétrique et transitive, ce qui permet de partitionner l’ensemble en classes d’équivalence. La réflexivité garantit que chaque élément est en relation avec lui-même, la symétrie que si x est en relation avec y, alors y l’est aussi, et la transitivité que si x est en relation avec y et y avec z, alors x l’est aussi avec z.

Answer

Une relation qui est réflexive, symétrique et transitive.

Question 6

6. Quelle propriété doit satisfaire une relation pour que, si x R y et y R z, alors x R z ?

Symétrie

Antisymétrie

Réflexivité

Transitivité

Explication

La transitivité d'une relation garantit que si x est en relation avec y et y avec z, alors x est en relation avec z. La réflexivité concerne les éléments liés à eux-mêmes, la symétrie concerne l'inversion de la relation, et l'antisymétrie concerne l'absence de relations inverses sauf si les éléments sont égaux.

Answer

Transitivité

Question 7

7. Quelle est la fonction principale d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

Elle relie chaque élément à tous les autres.

Elle permet de partitionner l'ensemble en classes disjointes.

Elle sert uniquement à représenter des relations de dépendance.

Elle établit une hiérarchie entre les éléments.

Explication

Une relation d'équivalence divise l'ensemble en classes d'équivalence disjointes, ce qui facilite leur étude. Contrairement à une relation d'ordre, elle ne crée pas de hiérarchie, mais une partition.

Answer

Elle permet de partitionner l'ensemble en classes disjointes.

Question 8

8. En quoi une classe d’équivalence diffère-t-elle d’un ensemble quotient dans la théorie des relations d’équivalence ?

Une classe d’équivalence est un concept abstrait, alors que l’ensemble quotient est une construction concrète basée sur la relation.

Une classe d’équivalence est un ensemble qui ne peut pas être partitionné, alors que l’ensemble quotient est une partition de l’ensemble initial.

Une classe d’équivalence est un ensemble de tous les éléments liés entre eux, alors que l’ensemble quotient est un seul ensemble contenant tous ces éléments.

Une classe d’équivalence est un sous-ensemble spécifique contenant tous les éléments liés à un élément donné, tandis que l’ensemble quotient est l’ensemble de toutes ces classes.

Explication

Une classe d’équivalence regroupe tous les éléments liés à un élément spécifique, formant un sous-ensemble, tandis que l’ensemble quotient est l’ensemble de toutes ces classes, partitionnant l’ensemble initial. La différence réside donc dans leur portée et leur rôle dans la partition de l’ensemble.

Answer

Une classe d’équivalence est un sous-ensemble spécifique contenant tous les éléments liés à un élément donné, tandis que l’ensemble quotient est l’ensemble de toutes ces classes.

Question 9

9. Quelles sont les causes principales qui expliquent pourquoi une relation d’ordre doit être réflexive, transitive et antisymétrique ?

Ces propriétés garantissent une hiérarchie claire et cohérente entre les éléments de l’ensemble.

Ces propriétés assurent que chaque élément est comparable à tous les autres.

Elles permettent de définir une relation d’équivalence entre tous les éléments.

Elles facilitent la représentation graphique par un diagramme de Hasse.

Explication

Une relation d’ordre doit être réflexive, transitive et antisymétrique pour assurer une hiérarchie cohérente et éviter les contradictions dans la comparaison des éléments. La réflexivité garantit que chaque élément est en relation avec lui-même, la transitivité permet de relier indirectement des éléments, et l’antisymétrie évite les cycles.

Answer

Ces propriétés garantissent une hiérarchie claire et cohérente entre les éléments de l’ensemble.

Question 10

10. Comment peut-on appliquer un diagramme de Hasse pour analyser la structure d’un ordre partiel dans un ensemble fini ?

En traçant tous les couples liés par la relation, sans supprimer les arcs déductibles par transitivité.

En utilisant le diagramme pour déterminer directement la relation d’ordre totale sur l’ensemble.

En construisant une matrice booléenne pour représenter toutes les relations possibles, puis en déduisant la hiérarchie.

En identifiant les éléments minimaux et maximaux, puis en utilisant le diagramme pour visualiser les successeurs immédiats.

Explication

Le diagramme de Hasse permet de visualiser la hiérarchie d’un ordre partiel en mettant en évidence les successeurs immédiats, ce qui facilite l’analyse de la structure. La construction de la matrice ou le tracé de tous les couples ne permettent pas une lecture claire de la hiérarchie sans simplification.

Answer

En identifiant les éléments minimaux et maximaux, puis en utilisant le diagramme pour visualiser les successeurs immédiats.

Question 11

11. Quelles sont les principales caractéristiques d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

Elle est réflexive, symétrique et totalement transitive.

Elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Elle est réflexive, symétrique et antisymétrique.

Explication

Une relation d'équivalence doit être réflexive, symétrique et transitive, ce qui permet de partitionner l'ensemble en classes d'équivalence. La réflexivité assure que chaque élément est lié à lui-même, la symétrie que si x est lié à y, alors y est lié à x, et la transitivité que si x est lié à y et y à z, alors x est lié à z.

Answer

Elle est réflexive, symétrique et transitive.

QCM : Relations et structures d’ordre (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une relation $R$ de $A$ dans $B$ ?

2. Quelle représentation convient à une relation binaire finie en plus d’un graphe, d’un diagramme cartésien, d’une matrice booléenne et d’un diagramme sagittal ?

3. Si $R$ est une relation de $A$ dans $B$ , que signifie $b\ R^{-1}\ a$ ?

4. Pour des relations $R_1$ de $A$ vers $B$ et $R_2$ de $B$ vers $C$ , dans quel cas a-t-on $a\ (R_2 \circ R_1)\ c$ ?

5. Que signifie une relation d’équivalence sur un ensemble ?

6. Quelle propriété doit satisfaire une relation pour que, si x R y et y R z, alors x R z ?

7. Quelle est la fonction principale d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

8. En quoi une classe d’équivalence diffère-t-elle d’un ensemble quotient dans la théorie des relations d’équivalence ?

9. Quelles sont les causes principales qui expliquent pourquoi une relation d’ordre doit être réflexive, transitive et antisymétrique ?

10. Comment peut-on appliquer un diagramme de Hasse pour analyser la structure d’un ordre partiel dans un ensemble fini ?

11. Quelles sont les principales caractéristiques d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

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QCM : Relations et structures d’ordre (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une relation RRR de AAA dans BBB ?

2. Quelle représentation convient à une relation binaire finie en plus d’un graphe, d’un diagramme cartésien, d’une matrice booléenne et d’un diagramme sagittal ?

3. Si RRR est une relation de AAA dans BBB, que signifie b R−1 ab\ R^{-1}\ ab R−1 a ?

4. Pour des relations R1R_1R1​ de AAA vers BBB et R2R_2R2​ de BBB vers CCC, dans quel cas a-t-on a (R2∘R1) ca\ (R_2 \circ R_1)\ ca (R2​∘R1​) c ?

5. Que signifie une relation d’équivalence sur un ensemble ?

6. Quelle propriété doit satisfaire une relation pour que, si x R y et y R z, alors x R z ?

7. Quelle est la fonction principale d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

8. En quoi une classe d’équivalence diffère-t-elle d’un ensemble quotient dans la théorie des relations d’équivalence ?

9. Quelles sont les causes principales qui expliquent pourquoi une relation d’ordre doit être réflexive, transitive et antisymétrique ?

10. Comment peut-on appliquer un diagramme de Hasse pour analyser la structure d’un ordre partiel dans un ensemble fini ?

11. Quelles sont les principales caractéristiques d'une relation d'équivalence sur un ensemble ?

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1. Quelle description définit correctement une relation $R$ de $A$ dans $B$ ?

3. Si $R$ est une relation de $A$ dans $B$ , que signifie $b\ R^{-1}\ a$ ?

4. Pour des relations $R_1$ de $A$ vers $B$ et $R_2$ de $B$ vers $C$ , dans quel cas a-t-on $a\ (R_2 \circ R_1)\ c$ ?