Fiche de révision : Résolution d’équations et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier degré
2. Mise en équation des problèmes
3. Inéquations et intervalles
4. Valeur absolue et distance
5. Inéquations avec valeur absolue
6. Signe des produits et quotients
7. Inéquations rationnelles et polynomiales
8. Résolution des équations du second degré
9. Factorisation des trinômes
10. Signe des trinômes du second degré
11. Problèmes avec une équation
12. Systèmes et problèmes à deux inconnues

📖 1. Équations du premier degré

★ À maîtriser

📌 Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une équation, ou les multiplier ou diviser par un même nombre non nul, donne une équation équivalente ayant les mêmes solutions.

• Pour résoudre une équation du premier degré, développer, regrouper les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre, puis obtenir une équation de la forme ax = b.

📌 Pour ax = b, si a ≠ 0 la solution unique est x = b/a ; si a = 0 et b ≠ 0 il n’y a aucune solution ; si a = 0 et b = 0 tout réel est solution.

Compléments

📌 Pour résoudre une équation comportant des fractions, on peut commencer par multiplier les deux membres par le dénominateur commun.

📖 2. Mise en équation des problèmes

★ À maîtriser

• 🔄 La mise en équation suit ces étapes :
  1. Choisir l’inconnue et préciser son unité.
  2. Traduire l’énoncé par une équation.
  3. Résoudre l’équation.
  4. Vérifier que la solution a un sens, notamment par son signe et son unité, puis répondre par une phrase.

📐 Formule - Un taux de t % appliqué à une quantité Q correspond à $\frac{t}{100}Q$.

Compléments

• Pour un salarié payé au double de son taux normal après 35 heures, ayant travaillé 42 heures et gagné 686 €, l’équation est 35h + 7 × 2h = 686 et le salaire horaire normal est de 14 €.

• Pour obtenir 2 100 € d’intérêts avec 15 000 € placés à 10 % et un ajout placé à 12 %, l’équation 0,10 × 15 000 + 0,12x = 2 100 donne un ajout de 5 000 €.

• Si les deux tiers d’une succession vont au conjoint, un quart aux enfants et le reste de 100 000 € à une association, la succession totale est de 1 200 000 €.

💡 Astuce mémo

Inconnue → équation → résolution → vérification

📖 3. Inéquations et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble à bornes finies fermé aux bornes incluses, noté [a,b], ou ouvert aux bornes exclues, noté ]a,b[ ; du côté de −∞ ou +∞, il est toujours ouvert.

★ À maîtriser

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement positif conserve le sens de l’inégalité, tandis qu’un nombre strictement négatif l’inverse.

Compléments

📌 Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inéquation ne change pas le sens de l’inégalité.

• L’inéquation −x − 3 ≤ 5 équivaut à x ≥ −8 et a pour ensemble solution [−8,+∞[.

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Quantité égale à a si a ≥ 0 et à −a si a < 0 ; elle est toujours positive ou nulle et représente la distance entre a et 0 sur la droite réelle.

★ À maîtriser

📌 Pour c ≥ 0, l’équation |X| = c équivaut à X = c ou X = −c.

Compléments

• L’équation |5 − 3x| = 5 a pour solutions x = 0 et x = 10/3.

• Pour écrire |5 − 3x| par morceaux, on utilise 5 − 3x ≥ 0, soit x ≤ 5/3 : |5 − 3x| vaut alors 5 − 3x si x ≤ 5/3 et 3x − 5 si x > 5/3.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, |x − c| est la distance entre x et c

📖 5. Inéquations avec valeur absolue

★ À maîtriser

📌 Pour c ≥ 0, |X| ≤ c équivaut à −c ≤ X ≤ c, tandis que |X| ≥ c équivaut à X ≤ −c ou X ≥ c.

Compléments

📌 Si c < 0, les inégalités |X| = c et |X| ≤ c n’ont aucune solution, tandis que |X| ≥ c est toujours vraie.

• L’inéquation |x − 2| ≤ 1 signifie que x est à une distance d’au plus 1 de 2 et équivaut à x ∈ [1,3].

• L’inéquation |x| > √2 équivaut à x < −√2 ou x > √2, soit l’ensemble ]−∞,−√2[ ∪ ]√2,+∞[.

• L’inéquation |x² − 2| ≤ 1 équivaut à 1 ≤ x² ≤ 3 puis à 1 ≤ |x| ≤ √3, et son ensemble solution est [−√3,−1] ∪ [1,√3].

💡 Astuce mémo

|X| ≤ c encadre X ; |X| ≥ c place X à l’extérieur

📖 6. Signe des produits et quotients

★ À maîtriser

• 🔄 La méthode comporte les étapes suivantes :

  1. Tout ramener d’un côté pour comparer à 0.
  2. Réduire au même dénominateur.
  3. Factoriser.
  4. Dresser le tableau de signes.
  5. Lire l’ensemble solution.

• Une expression ax + b avec a ≠ 0 s’annule en −b/a, a le signe de a à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.

📌 Une valeur qui annule le dénominateur est interdite et ne peut jamais appartenir à l’ensemble solution.

Compléments

• Un produit ou un quotient est positif s’il comporte un nombre pair de facteurs négatifs.

• Pour tout entier k, X^{2k} ≥ 0 et cette puissance est nulle seulement si X = 0, tandis que X^{2k+1} a le même signe que X.

• On ne doit pas multiplier une inéquation par une expression dont le signe est inconnu, comme x − 3 ou x, car le sens de l’inégalité dépendrait de ce signe.

• L’inéquation (x − 1)²(x + 4) > 0 a pour ensemble solution ]−4,1[ ∪ ]1,+∞[.

💡 Astuce mémo

Réduire, factoriser, repérer les zéros, dresser le tableau, lire la solution

📖 7. Inéquations rationnelles et polynomiales

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation rationnelle, on réduit le numérateur, on repère les zéros du numérateur et les valeurs interdites du dénominateur, puis on étudie les signes par intervalles.

• L’inéquation $\frac{x-3}{x+3}-(2x-1)<0$ a pour ensemble solution $]-3,-2[\cup]0,+\infty[$.

• L’inéquation $x^2-4x+4>0$ est vérifiée pour tout réel sauf $x=2$.

📖 8. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Pour $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux racines $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Pour $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Pour $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune racine réelle.

• Les racines d’un trinôme vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Mettre sous forme ax² + bx + c = 0, calculer Δ, puis déterminer les racines.

📖 9. Factorisation des trinômes

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne se factorise pas en facteurs du premier degré dans $\mathbb R$.

📖 10. Signe des trinômes du second degré

★ À maîtriser

📌 Lorsque le trinôme a deux racines réelles, il a le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe contraire entre elles.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme a le signe de $a$ partout sauf en sa racine double, où il est nul.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme conserve le signe de $a$ pour tout réel.

💡 Astuce mémo

Avec deux racines, le signe est celui de a à l’extérieur et son contraire entre elles.

📖 11. Problèmes avec une équation

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation entre vitesse, distance et durée est $v=\frac{d}{t}$, donc $t=\frac{d}{v}$.

Compléments

• Avec une vitesse exprimée en kilomètres par heure, la durée doit être exprimée en heures et $16\text{ min}=\frac{4}{15}\text{ h}$.

• Un rectangle de périmètre 40 cm et d’aire 75 cm² a pour côtés 15 cm et 5 cm.

• Un motocycliste parcourant 80 km et gagnant 16 minutes en augmentant sa vitesse de 10 km/h roulait initialement à 50 km/h.

📖 12. Systèmes et problèmes à deux inconnues

★ À maîtriser

• La méthode de substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation, à remplacer cette inconnue dans l’autre équation, puis à vérifier le couple obtenu dans les deux équations.

Compléments

📌 La solution d’un système de deux équations à deux inconnues s’écrit comme un couple ordonné.

• Cinq tables et vingt chaises coûtant 1 800 €, tandis que deux tables et trois chaises coûtent 420 €, impliquent un prix de 120 € par table et 60 € par chaise.

• Avec un profit unitaire de 200 € pour le produit basique et de 300 € pour le premium, une firme réalisant 180 000 € de bénéfice après avoir vendu 50 % de produits basiques de plus que de produits premium a vendu 450 produits basiques et 300 premium.

• Pour répartir 10 000 € entre des comptes rémunérés à 5 % et 7,2 % et obtenir 676 € d’intérêts annuels, il faut placer 2 000 € à 5 % et 8 000 € à 7,2 %.

💡 Astuce mémo

Isoler une inconnue, la substituer dans l’autre équation, puis vérifier le couple.