Fiche de révision : Manipulations algébriques

📋 Plan du Cours

1. Opérations et relations entre ensembles
2. Implications et réciproques
3. Règles de calcul des puissances
4. Variations et intérêts composés
5. Développement et réduction
6. Identités remarquables du troisième degré
7. Factorisation des expressions algébriques
8. Calculs avec les fractions
9. Racines et exposants rationnels
10. Taux annuel moyen de croissance
11. Sommes avec le symbole sigma
12. Interprétation des sommes de biens

📖 1. Opérations et relations entre ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : La notation signifie que l’élément x appartient à l’ensemble E.
• Inclusion : La notation signifie que tout élément de A appartient à B.
• Intersection : L’intersection contient les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Union : L’union contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, ou aux deux.
• Différence d’ensembles : La différence contient les éléments de A qui n’appartiennent pas à B.

★ À maîtriser

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si A ⊂ B et B ⊂ A ; l’ordre d’écriture de leurs éléments et les répétitions ne comptent pas.

Compléments

• Pour A = {2, 3, 4} et B = {2, 5, 6}, on a A ∩ B = {2}, A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}, A \ B = {3, 4} et B \ A = {5, 6}.

• Pour A = {2, 3, 4} et B = {2, 5, 6}, (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {3, 4, 5, 6}, soit les éléments appartenant à un seul des deux ensembles.

💡 Astuce mémo

Appartenance : un élément dans un ensemble ; inclusion : un ensemble contenu dans un autre.

📖 2. Implications et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L’implication est vraie si, chaque fois que P est vraie, Q est vraie.
• Réciproque : L’implication Q ⇒ P, qui peut être vraie ou fausse indépendamment de l’implication initiale.
• Équivalence : On écrit P ⇔ Q lorsque P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies.

★ À maîtriser

📌 Pour montrer qu’une implication est fausse, il suffit d’un contre-exemple où P est vraie et Q est fausse.

Compléments

• En logique, « P et Q » signifie que les deux propositions sont vraies, tandis que « P ou Q » signifie qu’au moins l’une est vraie, y compris lorsque les deux le sont.

• Pour tout réel a ≥ 0, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a ; ainsi, √4 = 2 et non ±2.

• Pour des réels x et y, x² + y² = 0 équivaut à x = 0 et y = 0, car les carrés sont positifs ou nuls.

• Pour des réels a et b, ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0.

• L’égalité xy = xz équivaut à x = 0 ou y = z ; on ne peut simplifier par x que si x ≠ 0.

📖 3. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

• Pour une base a non nulle et des entiers m et n, le produit de puissances de même base vérifie $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

• Pour une base a non nulle et des entiers m et n, le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

• Pour une base a non nulle et des entiers m et n, une puissance élevée à une puissance vérifie $(a^m)^n = a^{mn}$.

Compléments

• Pour des bases a et b et un entier n, la puissance d’un produit vérifie $(ab)^n = a^n b^n$.

• Pour a non nul, a^0 = 1 et a^{-n} = 1/a^n pour tout entier n.

• Pour un entier n pair, (−a)^n = a^n, tandis que pour un entier n impair, (−a)^n = −a^n.

📖 4. Variations et intérêts composés

★ À maîtriser

📌 Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par 1 + t/100, et la diminuer de t % revient à la multiplier par 1 − t/100.

📌 Les coefficients multiplicateurs de variations successives se multiplient et ne s’additionnent pas.

📐 Formule - Un capital initial C₀ placé à un taux annuel r en intérêts composés vaut après n années $C_n = C_0(1+r)^n$.

Compléments

📐 Formule - Pour disposer d’un capital Cₙ dans n années au taux annuel r, le capital à placer aujourd’hui est $C_0 = \frac{C_n}{(1+r)^n} = C_n(1+r)^{-n}$.

• Un capital de 12 000 € placé à 4 % annuel pendant 15 ans atteint environ 21 611,32 € avec des intérêts composés.

• Pour obtenir 50 000 € après cinq ans à 6 % annuel, il faut placer environ 37 362,91 € aujourd’hui.

• Une somme augmentée de 25 % par an pendant trois ans est multipliée par 1,25³ = 1,953125, soit une hausse totale de 95,3125 %.

💡 Astuce mémo

Variations successives → multiplication des coefficients multiplicateurs.

📖 5. Développement et réduction

★ À maîtriser

📌 La distributivité permet de développer k(a + b) en ka + kb et (a + b)(c + d) en ac + ad + bc + bd.

📌 Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes, par exemple −(a − b + c) = −a + b − c.

Compléments

• Pour réduire une expression développée, on regroupe les termes qui ont les mêmes lettres et les mêmes puissances.

📖 6. Identités remarquables du troisième degré

★ À maîtriser

📐 Formule - Le cube d’une somme vérifie $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

📐 Formule - Le cube d’une différence vérifie $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

📐 Formule - La différence de deux cubes se factorise selon $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Compléments

📐 Formule - La somme de deux cubes se factorise selon $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

📐 Formule - Les identités du second degré rappelées dans le cours sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

📖 7. Factorisation des expressions algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Transformation d’une somme en produit, inverse du développement.

★ À maîtriser

📐 Formule - La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

• Après une mise en facteur, on examine si la parenthèse restante peut encore être factorisée, puis on vérifie le résultat en redéveloppant.

Compléments

📌 Pour extraire un facteur commun, on prend le PGCD des coefficients et chaque lettre avec sa plus petite puissance.

• L’expression $3x^2-12$ se factorise complètement en $3(x-2)(x+2)$.

📖 8. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur, de préférence au PPCM des dénominateurs, puis on opère sur les numérateurs.

• Une fraction rationnelle n’existe que lorsque son dénominateur est non nul, donc les valeurs interdites doivent être relevées avant le calcul.

• Pour simplifier une fraction rationnelle, on factorise d’abord puis on simplifie par un facteur commun, jamais par un terme d’une somme.

Compléments

📐 Formule - Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

📌 On simplifie une fraction en divisant son numérateur et son dénominateur par un même facteur non nul.

📌 Le signe moins placé devant une fraction porte sur tout son numérateur, qui doit être mis entre parenthèses lors des transformations.

📖 9. Racines et exposants rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Nombre positif dont la puissance n-ième vaut a, pour a>0 et n entier supérieur ou égal à 2.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a>0 et n entier supérieur ou égal à 2, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ et $a^{p/q}=(\sqrt[q]{a})^p=\sqrt[q]{a^p}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un exposant positif r, $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$.

📌 Pour calculer sans calculatrice avec un exposant rationnel, on réécrit le nombre comme une puissance d’un entier simple.

📌 Dans les simplifications avec des puissances non entières, les quantités élevées à ces puissances sont supposées strictement positives.

📖 10. Taux annuel moyen de croissance

★ À maîtriser

📐 Formule - Si une grandeur passe de $V_0$ à $V_n$ en n années, son taux annuel moyen vérifie $V_0(1+t)^n=V_n$, donc $t=\left(\frac{V_n}{V_0}\right)^{1/n}-1$.

Compléments

• Pour une population passant de 40 à 60 millions en 12 ans, le taux annuel moyen est d’environ 3,44 % par an.

💡 Astuce mémo

La composition annuelle des hausses impose une racine n-ième, pas une division par n.

📖 11. Sommes avec le symbole sigma

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme sigma : Somme $\sum_{i=p}^{n}u_i$ désignant $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n$, l’indice prenant chaque entier de p à n.

★ À maîtriser

📐 Formule - La linéarité des sommes donne $\sum_i(\alpha u_i+\beta v_i)=\alpha\sum_i u_i+\beta\sum_i v_i$.

• Dans une somme double, on calcule d’abord la somme intérieure.

Compléments

• L’indice d’une somme est muet : changer son nom sans modifier ses bornes ni son terme ne change pas la somme.

📐 Formule - Une somme de constante comporte n-p+1 termes et vérifie $\sum_{i=p}^{n}c=(n-p+1)c$.

📐 Formule - La somme des entiers de 1 à n vaut $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule - Pour un terme produit $a_i b_j$, la somme double se factorise en $\sum_i\sum_j a_i b_j=(\sum_i a_i)(\sum_j b_j)$.

📖 12. Interprétation des sommes de biens

★ À maîtriser

• La somme $\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}$ représente le nombre total d’unités du bien i détenues par les n personnes, soit la somme de la ligne i du tableau.

• La somme $\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}$ représente le nombre total d’unités de biens détenues par la personne j, soit la somme de sa colonne, et n’a de sens économique que si les unités des biens sont comparables.

• La somme $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}$ représente le nombre total d’unités de tous les biens détenues par l’ensemble du groupe.

Compléments

• Avec un prix $p_i$ pour chaque bien i, la valeur du patrimoine de la personne j est $\sum_i p_i a_{i,j}$.

📌 Dans la somme de toutes les quantités détenues par le groupe, l’ordre des sommations peut être inversé : $\sum_j\sum_i a_{i,j}=\sum_i\sum_j a_{i,j}$.