QCM : Manipulations algébriques (32 questions)

Explication

Le symbole $\in$ indique qu’un élément appartient à un ensemble. L’inclusion compare deux ensembles, tandis que l’exclusion et l’égalité expriment d’autres relations.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsque chacun est inclus dans l’autre, sans tenir compte de l’ordre d’écriture ni des répétitions. La répétition et l’ordre ne changent donc pas ces ensembles, et une inclusion dans un seul sens ne suffit pas à établir l’égalité.

Explication

L’intersection regroupe les éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$. L’union correspond à une appartenance à au moins un ensemble, et les deux autres réponses ne vérifient pas la condition de double appartenance.

Explication

L’implication $P \Rightarrow Q$ est vraie lorsque, chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l’est aussi. La réponse portant sur $Q \Rightarrow P$ décrit la réciproque, et les autres imposent des conditions différentes.

Explication

Un contre-exemple à $P \Rightarrow Q$ doit rendre $P$ vraie et $Q$ fausse; un appareil connecté mais non sécurisé remplit ces conditions. Les autres cas ne montrent pas que la conclusion échoue lorsque la condition est satisfaite.

Explication

La réciproque s’obtient en inversant l’ordre des propositions : $Q \Rightarrow P$. L’expression $P \Rightarrow Q$ est l’implication initiale, tandis que les deux autres formulations ne sont pas sa réciproque.

Explication

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants : $4+3=7$. $5^{12}$ correspond à multiplier les exposants, $5^1$ à les soustraire, et $10^7$ à additionner les bases.

Explication

Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur : $8-3=5$. $a^{11}$ additionne les exposants, $a^{24}$ les multiplie, et $a^{-5}$ inverse la soustraction.

Explication

Une puissance élevée à une puissance conduit à multiplier les exposants : $3\times4\times2=24$. $x^9$ les additionne, $x^{12}$ omet l’exposant extérieur, et $x^{64}$ traite à tort le résultat comme une puissance de 4.

Explication

Une diminution de 15 % correspond au coefficient $1-\frac{15}{100}=0,85$. Le coefficient 1,15 représente une hausse, 0,15 ne conserve que la part diminuée, et 0,95 correspond à une baisse de 5 %.

Explication

Les coefficients successifs se multiplient : $1,10\times1,20=1,32$, soit une hausse globale de 32 %. 30 % additionne les taux, 20 % oublie la première variation, et 2 % multiplie les taux au lieu des coefficients.

Explication

La capitalisation composée suit $C_n=C_0(1+r)^n$, donc ici $2\,000(1+0,05)^3=2\,000(1,05)^3$. L’expression $2\,000(1+3\times0,05)$ utilise un intérêt simple, la division actualise, et $2\,000(0,05)^3$ omet le capital de départ dans le facteur de croissance.

Explication

Chaque terme du premier facteur se multiplie par chaque terme du second : $2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12$. Le coefficient $11$ confond les termes croisés, le terme constant positif oublie le signe du produit $(-3)\times4$, et le coefficient $-5$ inverse le signe de $8x$.

Explication

Le signe moins placé devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes. $-3p-2q-5$ conserve à tort le signe de $-2q$, tandis que les autres expressions laissent inchangé le signe d’un terme.

Explication

Avec $a=m$ et $b=2n$, la formule donne $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=m^3+6m^2n+12mn^2+8n^3$. Les coefficients 4 et 6 résultent d’une erreur sur les coefficients croisés ou sur la puissance de 2, et les signes alternés correspondent à une différence.

Explication

La formule $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ donne, avec $a=2x$ et $b=y$, $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$. Les signes tous positifs viennent de l’identité d’une somme; les autres erreurs portent sur le signe du terme $xy^2$ ou sur son coefficient croisé.

Explication

La différence de cubes suit $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$; avec $a=3u$ et $b=2v$, on obtient la factorisation indiquée. Le facteur $3u+2v$ correspond à la somme de cubes, tandis que le signe négatif devant $6uv$ appartient au trinôme associé à cette somme.

Explication

La factorisation transforme une somme en produit, à l’inverse du développement. Le développement effectue la transformation inverse, la réduction regroupe des termes semblables et la mise au même dénominateur concerne les fractions.

Explication

La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$; ici, $25y^2=(5y)^2$ et $9=3^2$. Le carré de binôme correspond à une autre identité, tandis que les facteurs contenant $25y$ ou deux facteurs identiques ne redonnent pas l’expression.

Explication

Après la mise en facteur, on examine si la parenthèse peut être factorisée davantage, puis on vérifie le résultat en redéveloppant. S’arrêter au facteur commun laisse ici une factorisation incomplète; une substitution isolée ne vérifie pas l’identité algébrique.

Explication

On met les fractions au même dénominateur, de préférence le PPCM des dénominateurs, puis on opère sur les numérateurs : $\frac{5}{12}-\frac{1}{8}=\frac{10-3}{24}$. Soustraire les dénominateurs ou ne pas ajuster les numérateurs ne produit pas une fraction équivalente.

Explication

Une fraction rationnelle n’existe pas lorsque son dénominateur est nul. Comme $x^2-9=(x-3)(x+3)$, les valeurs interdites sont $-3$ et $3$; $x=-1$ et $x=1$ annulent plutôt le numérateur.

Explication

On factorise d’abord le numérateur : $x^2-4=(x-2)(x+2)$, puis on simplifie le facteur commun $x-2$, avec $x\ne2$. Simplifier des termes d’une somme ou ne diviser qu’une partie de la fraction ne respecte pas la règle.

Explication

La racine n-ième de $a$ est définie comme le nombre positif dont la puissance n-ième vaut $a$. La puissance de l’indice confond les rôles de $a$ et de $n$, les valeurs négatives ignorent la condition de positivité, et le carré ne convient qu’au cas particulier $n=2$.

Explication

La règle $a^{p/q}=(\sqrt[q]{a})^p$ donne ici $81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27$. L’expression avec une racine cubique inverse numérateur et dénominateur, tandis que la racine quatrième élevée à la quatrième redonne simplement $81$.

Explication

Le taux annuel moyen vérifie $t=(V_n/V_0)^{1/n}-1$; ici, $t=\sqrt{1{,}21}-1=0{,}10$, soit $10\%$. Le calcul de la hausse répartie linéairement confond croissance composée et croissance simple, et le rapport sans racine donne la hausse totale.

Explication

L’indice prend chaque entier de la borne inférieure à la borne supérieure, ces deux bornes incluses. Omettre $u_2$ oublie la borne inférieure, s’arrêter à $u_4$ oublie la borne supérieure, et commencer à $u_1$ ajoute un terme extérieur.

Explication

La linéarité permet de sortir chaque coefficient en conservant son signe : $\sum_i(3u_i-2v_i)=3\sum_i u_i-2\sum_i v_i$. Le signe positif inverse le signe de la seconde somme, le coefficient 3 appliqué aux deux termes confond leurs coefficients, et l’écriture sans coefficients les oublie.

Explication

Dans une somme double, on calcule d’abord la somme intérieure, ici celle sur $r$, pour chaque valeur de $s$. Commencer par la somme extérieure inverse l’ordre de calcul attendu, tandis que fusionner les indices ne respecte pas la structure de la somme.

Explication

Pour un bien fixé, sommer sur les personnes additionne les quantités de ce bien dans la ligne correspondante du tableau. La somme d’une colonne concerne une personne, une valeur monétaire nécessite des prix, et le nombre de catégories de biens n’est pas la quantité additionnée.

Explication

Cette somme additionne les quantités de tous les biens détenues par la personne, mais n’a de sens économique que si les unités des biens sont comparables. La valeur du patrimoine nécessite des prix, et sommer sur les personnes donnerait une autre grandeur.

Explication

La somme additionne les quantités pour toutes les personnes et toutes les catégories de biens. Fixer un bien exclut les autres, fixer une personne exclut les autres personnes, et une valeur monétaire requiert des prix.