QCM : Résolution d’équations et inéquations (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour transformer l’équation 4x−7=134x-7=13 en une équation équivalente, quelle opération peut-on effectuer sur ses deux membres ?

Ajouter 7 au seul membre de gauche
Diviser chacun des deux membres par x
Multiplier chacun des deux membres par zéro
Ajouter 7 à chacun des deux membres

Ajouter 7 à chacun des deux membres

Explication

Ajouter le même nombre aux deux membres conserve les solutions de l’équation. Modifier un seul membre rompt l’équivalence, multiplier par zéro n’est pas une opération réversible, et diviser par x n’est pas une division par un nombre garanti non nul.

2. Après réduction, une équation devient 0x=50x=5. Que peut-on conclure sur ses solutions ?

Elle admet une solution réelle unique
Tout réel est une solution
Elle n’a aucune solution réelle
Elle admet la solution x=5x=5

Elle n’a aucune solution réelle

Explication

Lorsque le coefficient de x est nul et que le membre constant ne l’est pas, l’égalité est impossible : aucune solution n’existe. Le cas 0x=00x=0 correspond à tous les réels, tandis que diviser par zéro ou annoncer une solution unique est incorrect.

3. Une personne doit déterminer le montant d’un ajout à un placement. Quelle démarche permet de mettre correctement ce problème en équation et de formuler la réponse ?

Définir l’inconnue, traduire et résoudre sans contrôler la réponse
Assembler les données en une équation sans préciser l’inconnue
Définir l’inconnue et son unité, traduire, résoudre, vérifier puis répondre
Résoudre les données numériques, puis choisir une inconnue adaptée

Définir l’inconnue et son unité, traduire, résoudre, vérifier puis répondre

Explication

La mise en équation commence par le choix d’une inconnue avec son unité, puis traduit l’énoncé en équation; après résolution, il faut contrôler le sens et l’unité de la valeur avant de répondre. Résoudre avant de définir l’inconnue inverse la démarche, et ignorer la vérification ou l’équation omet une étape essentielle.

4. Que désigne un intervalle ouvert ]a,b[]a,b[ sur la droite réelle ?

L’ensemble des réels inférieurs à aa ou supérieurs à bb
L’ensemble des réels compris entre aa et bb, en incluant seulement aa
L’ensemble des réels compris entre aa et bb, en incluant les deux bornes
L’ensemble des réels compris entre aa et bb, sans inclure les bornes

L’ensemble des réels compris entre $$a$$ et $$b$$, sans inclure les bornes

Explication

Un intervalle ouvert contient les réels situés entre ses bornes, mais exclut chacune d’elles. À l’inverse, un intervalle fermé inclut les deux bornes.

5. Dans l’équation ∣5−3x∣=5|5-3x|=5, quelles sont les deux valeurs de xx ?

00 et 103\frac{10}{3}
−103-\frac{10}{3} et 53\frac{5}{3}
00 et 53\frac{5}{3}
−53-\frac{5}{3} et 103\frac{10}{3}

$$0$$ et $$\frac{10}{3}$$

Explication

L’équation impose que 5−3x5-3x soit égal à 55 ou à −5-5, ce qui donne respectivement x=0x=0 et x=103x=\frac{10}{3}. La valeur 53\frac{5}{3} est le seuil où l’expression à l’intérieur de la valeur absolue change de signe, et non une solution de cette équation.

6. Dans une inéquation de la forme ∣X∣≤c|X|\leq c avec c≥0c\geq 0, quel rôle joue la valeur cc dans la contrainte imposée à XX ?

Elle donne la valeur que XX doit prendre, avec deux possibilités opposées.
Elle fixe les deux bornes qui encadrent XX, de −c-c à cc.
Elle fixe les deux seuils extérieurs au-delà desquels XX doit se trouver.
Elle indique que XX doit être positif et inférieur ou égal à cc.

Elle fixe les deux bornes qui encadrent $$X$$, de $$-c$$ à $$c$$.

Explication

La borne cc détermine l’intervalle −c≤X≤c-c\leq X\leq c, soit les valeurs dont la distance à zéro ne dépasse pas cc. Pour une inéquation de la forme ∣X∣≥c|X|\geq c, les solutions se situent plutôt à l’extérieur de cet intervalle.

7. Quelle différence distingue l’effet d’une puissance paire de celui d’une puissance impaire sur le signe d’une expression réelle XX ?

Les deux puissances conservent le signe de XX, mais seule la puissance impaire peut être nulle.
Une puissance paire est non négative, tandis qu’une puissance impaire conserve le signe de XX.
Une puissance paire conserve le signe de XX, tandis qu’une puissance impaire est non négative.
Les deux puissances sont non négatives, mais seule la puissance paire peut être nulle.

Une puissance paire est non négative, tandis qu’une puissance impaire conserve le signe de $$X$$.

Explication

Une puissance paire de XX est positive ou nulle, alors qu’une puissance impaire a le même signe que XX. La confusion avec les puissances impaires vient du fait que leur signe dépend de celui de XX, contrairement à celui des puissances paires.

8. Dans une inéquation rationnelle, pourquoi une valeur qui annule le dénominateur doit-elle être exclue de l’ensemble solution, même si elle semble satisfaire l’inégalité après simplification ?

Parce que l’expression rationnelle n’est pas définie pour cette valeur.
Parce que cette valeur annule nécessairement le numérateur.
Parce que cette valeur rend l’inégalité équivalente à une égalité.
Parce que le signe du quotient est positif de part et d’autre de cette valeur.

Parce que l’expression rationnelle n’est pas définie pour cette valeur.

Explication

Une valeur qui annule le dénominateur rend l’expression rationnelle indéfinie et ne peut donc pas être une solution. Une valeur qui annule le numérateur peut, au contraire, appartenir à l’ensemble solution selon le sens de l’inégalité.

9. Pour résoudre 3x2−5x−2=03x^2-5x-2=0 à l’aide du discriminant, quelle démarche permet de déterminer ses racines réelles ?

Calculer Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac, puis appliquer les formules des deux racines si Δ>0\Delta>0.
Calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis appliquer les formules des deux racines si Δ>0\Delta>0.
Calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis conclure à l’absence de racine réelle si Δ>0\Delta>0.
Calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis appliquer la formule de la racine double si Δ>0\Delta>0.

Calculer $$\Delta=b^2-4ac$$, puis appliquer les formules des deux racines si $$\Delta>0$$.

Explication

Ici, a=3a=3, b=−5b=-5 et c=−2c=-2; après calcul de Δ\Delta, sa positivité indique qu’il faut utiliser les deux formules des racines. La formule de la racine double s’applique lorsque Δ=0\Delta=0, et non lorsque le discriminant est positif.

10. Quelles sont les caractéristiques de la factorisation d’un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c lorsque son discriminant est positif ?

Il s’écrit a(x−x0)2a(x-x_0)^2, où x0x_0 est son unique racine réelle.
Il s’écrit a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2), où x1x_1 et x2x_2 sont ses deux racines réelles.
Il ne peut pas s’écrire comme un produit de facteurs du premier degré dans R\mathbb R.
Il s’écrit comme un produit de deux facteurs du premier degré à coefficients complexes conjugués.

Il s’écrit $$a(x-x_1)(x-x_2)$$, où $$x_1$$ et $$x_2$$ sont ses deux racines réelles.

Explication

Avec un discriminant positif, le trinôme possède deux racines réelles et se factorise en utilisant ces deux racines, avec le coefficient directeur aa en facteur. Une racine double correspond plutôt au cas où le discriminant est nul.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Résolution d’équations et inéquations.

Quelle transformation conserve les solutions d’une équation ?

Ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres, ou les multiplier ou diviser par un même nombre non nul.

Quelles étapes suivre pour mettre un problème en équation ?

Choisir et unitiser l’inconnue, traduire l’énoncé, résoudre, vérifier la solution, puis répondre par une phrase.

Quelle fraction de la quantité Q représente un taux de t % ?

t100Q\frac{t}{100}Q

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Approfondir avec la fiche

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