QCM : Révisions de mathématiques de Première — 64 questions

Question 1

1. Laquelle décrit correctement une suite numérique ?

Une somme infinie de nombres réels rangés sans ordre particulier

Une fonction qui associe à chaque réel un entier naturel

Une liste ordonnée de nombres associant à chaque entier n, à partir d’un certain rang, un réel u_n

Une expression polynomiale définie uniquement pour les entiers positifs

Explication

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres qui associe à tout entier n, à partir d’un certain rang, un nombre réel noté u_n.

Answer

Une liste ordonnée de nombres associant à chaque entier n, à partir d’un certain rang, un réel u_n

Question 2

2. Quelle situation correspond à une suite définie par récurrence ?

On représente les termes par des points dans un repère

On donne uniquement les cinq premiers termes de la suite

On donne u_0=3 et u_{n+1}=2u_n+1

On donne directement u_n=2n+3

Explication

Une définition par récurrence fournit un terme initial et une relation exprimant u_{n+1} en fonction de u_n. La formule u_n=2n+3 est une définition explicite.

Answer

On donne u_0=3 et u_{n+1}=2u_n+1

Question 3

3. Une suite vérifie u_{n+1}≥u_n pour tout n. Comment la qualifie-t-on ?

Elle est constante

Elle est décroissante

Elle est croissante

Elle est strictement croissante

Explication

Une suite est croissante lorsqu'u_{n+1}≥u_n ; l’égalité est donc autorisée. La croissance stricte exige u_{n+1}>u_n.

Answer

Elle est croissante

Question 4

4. Laquelle de ces situations caractérise une suite divergente ?

Elle admet une limite égale à zéro

Elle tend vers une limite réelle finie

Elle tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞

Elle se rapproche d’un nombre réel fixe

Explication

Une suite qui tend vers +∞ n’admet pas de limite finie : elle est donc divergente. Une suite possédant une limite réelle finie est convergente.

Answer

Elle tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞

Question 5

5. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

u_{n+1}=u_n^r

u_{n+1}=u_n+r^n

u_{n+1}=u_n+r

u_{n+1}=u_nq

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la raison r au terme précédent : u_{n+1}=u_n+r.

Answer

u_{n+1}=u_n+r

Question 6

6. Quelle formule donne la somme des termes u_0 à u_N d’une suite arithmétique ?

∑_{k=0}^{N}u_k=u_0(1-q^{N+1})/(1-q)

∑_{k=0}^{N}u_k=(N+1)u_0u_N

∑_{k=0}^{N}u_k=(u_0+u_N)/2

∑_{k=0}^{N}u_k=(N+1)(u_0+u_N)/2

Explication

La somme arithmétique vaut le nombre de termes, N+1, multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. La formule comportant une puissance de q concerne une suite géométrique.

Answer

∑_{k=0}^{N}u_k=(N+1)(u_0+u_N)/2

Question 7

7. Une suite géométrique de raison q vérifie quelle relation de récurrence ?

u_{n+1}=u_n/q^n

u_{n+1}=u_nq

u_{n+1}=u_n+q

u_{n+1}=q^n+u_n

Explication

Une suite géométrique s’obtient en multipliant chaque terme par sa raison q : u_{n+1}=u_nq.

Answer

u_{n+1}=u_nq

Question 8

8. Quelle expression représente la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q≠1 ?

u_0+Nq

(N+1)(u_0+u_N)/2

u_0q^{N+1}

u_0(1-q^{N+1})/(1-q)

Explication

La somme géométrique jusqu’au rang N est u_0(1-q^{N+1})/(1-q). La formule avec la moyenne des extrêmes appartient aux suites arithmétiques.

Answer

u_0(1-q^{N+1})/(1-q)

Question 9

9. Quelle condition est nécessaire pour que f(x)=ax²+bx+c soit un polynôme du second degré ?

Le coefficient b doit être non nul

Le coefficient c doit être positif

Le discriminant doit être positif

Le coefficient a doit être non nul

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit ax²+bx+c avec a≠0. Si a=0, la fonction devient au plus affine.

Answer

Le coefficient a doit être non nul

Question 10

10. Pour f(x)=ax²+bx+c, quelles sont les coordonnées du sommet dans la forme canonique ?

α=b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a)

α=b²−4ac et β=−b/(2a)

α=−2a/b et β=c/a

α=−b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a)

Explication

La forme canonique est f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a). Elle met directement en évidence le sommet.

Answer

α=−b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a)

Question 11

11. Quel est le discriminant de l’équation 3x²−5x+2=0 ?

25

1

−1

49

Explication

On calcule Δ=b²−4ac=(−5)²−4×3×2=25−24=1.

Answer

Elle n’a aucune solution réelle

Answer

La limite de \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0

Answer

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

Answer

\((\sin x)'=\cos x\)

Answer

\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)

Answer

f est strictement décroissante

Answer

Un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas

Answer

f(a) est un minimum local

Answer

Elle vérifie \(f'(x)=f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=1\)

Answer

Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ

Answer

\(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\)

Answer

Exactement lorsque \(a<b\)

Answer

Son abscisse est cos θ et son ordonnée est sin θ

Answer

cos²(x)+sin²(x)=1

Answer

Le sommet (h,k) et l’axe x=h

Answer

Elle est ouverte vers le bas et possède un maximum

Answer

Égaliser leurs expressions de y puis interpréter les solutions

Answer

La probabilité de B sachant A

Answer

P(A)×P_A(B)

Answer

P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B)

Answer

P_A(B)=P(B)

Answer

Elle associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience

Answer

En mètres

Answer

f'(x)=-4x+4

Answer

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Answer

Déterminer les zéros de sa dérivée, étudier son signe, puis déduire les variations

Answer

P'(t)=0,0191P(t)

Answer

e^x≥1+x pour tout réel x et ln(x)≤x-1 pour x>0

Answer

Avec R = √(a² + b²), où R est l’amplitude

Answer

Après 8 pas

Answer

MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, −t² + 2t)

Answer

t(t − 1)²(t − 2)

Answer

Leur produit scalaire est nul

Answer

Ils sont orthogonaux

Answer

|ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Answer

3x − 2y + 5 = 0

Answer

I((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2)

Answer

√((x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²)

Answer

1/2 |x_A(y_B−y_C)+x_B(y_C−y_A)+x_C(y_A−y_B)|

Answer

La droite est tangente à la parabole

Answer

En intersectant les médiatrices de deux côtés

Answer

(x−2)²+(y−3)²=32

Answer

Elle est strictement croissante et diverge vers +∞

Question 12

12. Que peut-on conclure pour une équation du second degré dont le discriminant est strictement négatif ?

Elle possède une infinité de solutions réelles

Elle possède deux solutions réelles distinctes

Elle possède une solution réelle double

Elle n’a aucune solution réelle

Explication

Lorsque Δ<0, l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle. Une solution double correspond au cas Δ=0.

Question 13

13. Quelle expression définit la dérivée de f au point a lorsqu’elle existe ?

La limite de \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0

La limite de \(\frac{f(a+h)+f(a)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0

La valeur \(f(a)\) de la fonction au point a

Le quotient \(\frac{f(a)}{a}\) lorsqu'a est non nul

Explication

La dérivée en a est définie par la limite du taux d’accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) lorsque h tend vers 0. Elle ne se confond pas avec la valeur \(f(a)\).

Question 14

14. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point \(A(a,f(a))\) ?

\(y=f(a)(x-a)+f'(a)\)

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

\(y=f'(x)(a-x)+f(a)\)

\(y=f(a)x+f'(a)\)

Explication

La tangente a pour coefficient directeur \(f'(a)\) et passe par \(A(a,f(a))\), d’où l’équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

Question 15

15. Quelle dérivée usuelle est correcte ?

\((e^x)'=1\)

\((\cos x)'=\cos x\)

\((\sin x)'=\cos x\)

\((\sin x)'=-\sin x\)

Explication

Parmi les dérivées usuelles, on a notamment \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\) et \((e^x)'=e^x\).

Question 16

16. Si \(f(x)=u(x)v(x)\), quelle formule permet de calculer sa dérivée ?

\(f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)\)

\(f'(x)=u'(x)v'(x)\)

\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)

\(f'(x)=\frac{u'(x)}{v'(x)}\)

Explication

La dérivée d’un produit est la somme de la dérivée du premier facteur multipliée par le second et du premier facteur multiplié par la dérivée du second.

Question 17

17. Sur un intervalle où \(f'(x)<0\), quelle variation de f peut-on conclure ?

f est strictement croissante

f est constante

f est strictement décroissante

f possède nécessairement un maximum local

Explication

Une dérivée strictement négative sur un intervalle implique que la fonction y est strictement décroissante. Une dérivée positive correspondrait à une croissance.

Question 18

18. Lequel des points suivants est un point critique de f ?

Un point où la fonction est nécessairement maximale

Un point où la dérivée vaut nécessairement un

Un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas

Un point où la fonction vaut nécessairement zéro

Explication

Un point critique est un point où la dérivée est nulle ou n’existe pas. Cela ne signifie pas automatiquement que la fonction y atteint un extremum.

Question 19

19. Que peut-on conclure si la dérivée change de signe de − vers + en a ?

Il n’existe aucun point critique en a

f(a) est un minimum local

f est constante au voisinage de a

f(a) est un maximum local

Explication

Un changement de signe de la dérivée de − vers + signifie que la fonction passe de la décroissance à la croissance : \(f(a)\) est donc un minimum local.

Question 20

20. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

Elle vérifie \(f'(x)=x f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=1\)

Elle vérifie \(f'(x)=-f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=0\)

Elle vérifie \(f'(x)=f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=1\)

Elle vérifie \(f'(x)=1\) pour tout réel x et \(f(0)=0\)

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction qui est égale à sa dérivée en tout réel et qui prend la valeur 1 en 0.

Question 21

21. Quelle affirmation décrit correctement la fonction \(x\mapsto e^x\) ?

Elle peut être négative lorsque x est négatif

Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ

Elle est strictement décroissante sur ℝ

Elle s’annule pour une valeur réelle de x

Explication

La fonction exponentielle est définie sur ℝ, strictement positive et strictement croissante. Elle tend vers 0 en −∞ sans jamais atteindre cette valeur.

Question 22

22. Quelle égalité est vraie pour tous réels a et b ?

\(e^{a-b}=e^{a}e^{b}\)

\(e^{a-b}=\frac{e^b}{e^a}\)

\(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\)

\(e^{a-b}=e^a-e^b\)

Explication

La propriété du quotient des exponentielles donne \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\). Elle découle notamment de \(e^{-b}=\frac{1}{e^b}\).

Question 23

23. Pour quels réels a et b l’inégalité \(e^a<e^b\) est-elle vérifiée ?

Exactement lorsque \(a>b\)

Exactement lorsque \(a<b\)

Pour tous a et b réels

Lorsque \(a=b\)

Explication

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve strictement l’ordre : \(e^a<e^b\) équivaut à \(a<b\).

Question 24

24. Sur le cercle trigonométrique, comment les coordonnées du point associé à un angle θ sont-elles déterminées ?

Son abscisse est sin θ et son ordonnée est cos θ

Son abscisse est cos θ et son ordonnée est sin θ

Son abscisse est tan θ et son ordonnée est cos θ

Son abscisse est θ et son ordonnée est 1

Explication

Le point associé à θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ) : le cosinus donne l’abscisse et le sinus l’ordonnée.

Question 25

25. Quelle égalité reste vraie pour toute valeur réelle de x ?

cos²(x)+sin(x)=1

cos²(x)-sin²(x)=1

cos(x)+sin(x)=1

cos²(x)+sin²(x)=1

Explication

L’identité trigonométrique fondamentale est cos²(x)+sin²(x)=1.

Question 26

26. La norme d’un vecteur de coordonnées (−3,4) vaut combien ?

1

5

25

7

Explication

La norme vaut √(x²+y²), donc √(9+16)=√25=5.

Question 27

27. Si u=(2,1) et v=(3,−2), quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

4

8

−4

0

Explication

On calcule u·v=2×3+1×(−2)=6−2=4. La bonne réponse est donc 4.

Question 28

28. Que permet de lire directement la forme canonique f(x)=a(x−h)²+k ?

La pente de la parabole en chaque point

Le sommet (h,k) et l’axe x=h

Les racines et le discriminant

Les coefficients développés a, b et c uniquement

Explication

La forme canonique donne directement le sommet (h,k) et l’axe de symétrie x=h.

Question 29

29. Une fonction quadratique possède un coefficient a négatif. Quelle caractéristique sa parabole présente-t-elle ?

Elle est ouverte vers le haut et possède un maximum

Elle est ouverte vers le bas et possède un minimum

Elle est ouverte vers le bas et possède un maximum

Elle est ouverte vers le haut et possède un minimum

Explication

Lorsqu'a<0, la parabole est ouverte vers le bas et sa valeur au sommet est un maximum.

Question 30

30. Pour f_m(x)=x²−2mx+m²−1, quelles sont l’abscisse et l’ordonnée du sommet ?

(m,−1)

(−m,1)

(m,1)

(−m,−1)

Explication

La forme canonique est f_m(x)=(x−m)²−1, donc le sommet est (m,−1).

Question 31

31. Pour déterminer les points d’intersection d’une parabole et d’une droite, quelle méthode faut-il appliquer ?

Calculer le produit de leurs expressions de y

Égaliser leurs expressions de y puis interpréter les solutions

Comparer uniquement leurs coefficients directeurs

Additionner leurs expressions de y puis résoudre

Explication

Les points communs vérifient la même valeur de y : on égalise donc les deux expressions, puis le nombre de solutions donne le nombre d’intersections.

Question 32

32. Que signifie la notation P_A(B), lorsque P(A) est non nulle ?

La probabilité de A ou B

La probabilité de B sachant A

La probabilité de A et B indépendants

La probabilité de A sachant B

Explication

P_A(B) désigne la probabilité de B sachant qu'A est réalisé et vaut P(A∩B)/P(A).

Question 33

33. Quelle expression permet de calculer la probabilité de l’intersection A∩B ?

P(A)×P(B) dans tous les cas

P(A)+P_A(B)

P(A)×P_A(B)

P(A∪B)−P(A)

Explication

La relation fondamentale est P(A∩B)=P(A)×P_A(B). Le produit P(A)P(B) ne convient que lorsque l’indépendance est établie.

Question 34

34. A et son complémentaire forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime alors P(B) ?

P(B)=P(A)P(B)+P(Ā)

P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B)

P(B)=P(A)+P(Ā)

P(B)=P_A(B)+P_Ā(B)

Explication

La formule des probabilités totales additionne les contributions des deux cas : P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B).

Question 35

35. Si P(A)>0, quelle condition caractérise l’indépendance de A et B ?

P_A(B)=P(B)

P(A∩B)=P(A)+P(B)

P(A)=P(B)

P_A(B)=P(A)

Explication

Lorsque P(A)>0, A et B sont indépendants si et seulement si P_A(B)=P(B), ce qui équivaut à P(A∩B)=P(A)P(B).

Question 36

36. Quelle propriété caractérise une variable aléatoire discrète X dans une expérience aléatoire ?

Elle associe une fonction dérivable à chaque nombre réel

Elle associe une issue unique à chaque nombre réel

Elle associe une probabilité identique à chaque événement

Elle associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience

Explication

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel X(ω) à chaque issue ω de l’expérience aléatoire.

Question 37

37. Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec des probabilités respectives p, 0,3 et 0,2. Quelle est la valeur de p ?

1,5

0,2

0,5

0,7

Explication

La somme des probabilités doit être égale à 1 : p+0,3+0,2=1, d’où p=0,5.

Question 38

38. Si E(X)=4, quelle est la valeur de E(3X-2) ?

6

12

14

10

Explication

Par linéarité de l’espérance, E(3X-2)=3E(X)-2=3×4-2=10. Cette propriété de linéarité ne s’applique pas de la même manière à la variance.

Question 39

39. Une variable aléatoire X est exprimée en mètres. Dans quelle unité l’écart-type σ(X) est-il exprimé ?

Sans unité

En mètres carrés

En mètres par seconde

En mètres

Explication

La variance est exprimée dans l’unité au carré, tandis que l’écart-type, qui est sa racine carrée, est exprimé dans la même unité que X.

Question 40

40. Quelle est la dérivée de f(x)=-2x²+4x+1 ?

f'(x)=-2x+4

f'(x)=2x²-4x

f'(x)= -4x+1

f'(x)=-4x+4

Explication

En dérivant terme à terme, on obtient f'(x)=-4x+4. La forme canonique de f, elle, permet notamment d’identifier directement son sommet.

Question 41

41. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f(a)(x-a)+a

y=f'(a)x+f(a)

Explication

La tangente en a a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a). Ici, f'(a) représente la pente et f(a) l’ordonnée du point de contact.

Question 42

42. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable ?

Déterminer les zéros de sa dérivée, étudier son signe, puis déduire les variations

Déterminer sa forme canonique sans calculer sa dérivée

Calculer uniquement sa valeur maximale et minimale

Étudier seulement le signe de la fonction elle-même

Explication

On cherche les zéros de la dérivée, on établit son tableau de signe, puis on en déduit les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction.

Question 43

43. Pour le modèle P(t)=50000e^{0,0191t}, quelle relation décrit la vitesse de croissance de la population ?

P'(t)=50000+0,0191t

P'(t)=0,0191P(t)

P'(t)=P(t)/0,0191

P'(t)=0,0191

Explication

La dérivée vérifie P'(t)=0,0191P(t), ce qui signifie que la vitesse de croissance est proportionnelle à la population et que celle-ci est strictement croissante.

Question 44

44. Quelle affirmation respecte les conditions de validité des deux inégalités usuelles de l’exponentielle et du logarithme ?

e^x≥1+x pour tout réel x et ln(x)≤x-1 pour x>0

e^x≥1+x pour x>0 et ln(x)≤x-1 pour tout réel x

Les deux inégalités sont valables pour tout réel x

Les deux inégalités exigent que x soit strictement positif

Explication

L’inégalité e^x≥1+x est vraie pour tout réel x, tandis que ln(x)≤x-1 nécessite x>0, puisque le logarithme n’est défini que pour un argument positif.

Question 45

45. Comment réécrire la fonction a sin(x) + b cos(x) sous la forme R sin(x + φ) ?

Avec R = √(a² + b²), où R est l’amplitude

Avec R = ab, où R est l’angle de phase

Avec R = √(a² − b²), où R est la période

Avec R = a + b, où R est le déphasage

Explication

Toute fonction a sin(x) + b cos(x) s’écrit R sin(x + φ), avec R = √(a² + b²). R représente l’amplitude, tandis que φ représente le déphasage.

Question 46

46. Pour la suite définie par u_n = nπ/4, après combien de pas la suite (sin(u_n)) retrouve-t-elle ses valeurs ?

Après 16 pas

Après 8 pas

Après 2 pas

Après 4 pas

Explication

On a u_{n+8} = u_n + 2π, donc sin(u_{n+8}) = sin(u_n). La suite des sinus est ainsi périodique de période 8.

Question 47

47. Quel est l’ensemble image de f(x) = sin(x) + √3 cos(x) ?

[-√3, √3]

[-4, 4]

[-1, 1]

[-2, 2]

Explication

La fonction se réécrit f(x) = 2 sin(x + π/3). Comme le sinus varie entre −1 et 1, son image est donc [-2, 2].

Question 48

48. Pour M(t,t² − 2t + 3), quels sont les vecteurs [31mMA[0m et [31mMB[0m lorsqu'A(0,3) et B(2,3) ?

MA = (t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, t² − 2t)

MA = (t, t² − 2t) et MB = (t − 2, t² − 2t)

MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (t − 2, t² − 2t)

MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, −t² + 2t)

Explication

En soustrayant les coordonnées de M à celles de A et de B, on obtient MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, −t² + 2t).

Question 49

49. Quelle expression factorisée représente le produit scalaire MA · MB pour M(t,t² − 2t + 3) ?

(t − 1)²(t − 2)²

t(t − 1)²(t − 2)

t(t − 1)(t − 2)²

t(t + 1)²(t + 2)

Explication

Le produit scalaire vaut t⁴ − 4t³ + 5t² − 2t, qui se factorise en t(t − 1)²(t − 2).

Question 50

50. Quelle condition caractérise l’orthogonalité des vecteurs MA et MB ?

Leur déterminant est nul

Leurs normes sont égales

Leurs coordonnées sont toutes positives

Leur produit scalaire est nul

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un déterminant nul caractérise plutôt le parallélisme dans le plan.

Question 51

51. Quel point de la parabole correspond à la valeur t = 1 et constitue le sommet où l’angle est droit ?

B(2,3)

A(0,3)

M₁(1,2)

M₁(2,1)

Explication

Pour t = 1, le point est M₁(1,2), qui est le sommet de la parabole et le point correspondant à l’angle droit. A et B sont les extrémités du segment.

Question 52

52. Pour une droite d’équation ax + by + c = 0, quelle relation existe entre un vecteur directeur et le vecteur normal (a,b) ?

Ils ont nécessairement la même norme

Ils sont de même sens

Ils sont orthogonaux

Ils sont toujours égaux

Explication

Le vecteur normal de la droite est (a,b), et tout vecteur directeur lui est orthogonal. Leur produit scalaire est donc nul.

Question 53

53. Quelle formule donne la distance du point M(x₀,y₀) à la droite ax + by + c = 0 ?

|ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

|ax₀ + by₀ + c| / (a² + b²)

(ax₀ + by₀ + c) / √(a + b)

√(a² + b²) / |ax₀ + by₀ + c|

Explication

La distance est obtenue en prenant la valeur absolue de l’expression de la droite au point, puis en la divisant par la norme du vecteur normal : d(M,D) = |ax₀ + by₀ + c|/√(a²+b²).

Question 54

54. Quelle est l’équation de la droite perpendiculaire à D passant par A(1,4), dans la configuration considérée ?

2x − 3y + 10 = 0

3x + 2y − 11 = 0

2x + 3y − 6 = 0

3x − 2y + 5 = 0

Explication

La droite perpendiculaire à D passant par A(1,4) a pour équation 3x − 2y + 5 = 0. Son vecteur directeur (2,3) est un vecteur normal de D, ce qui explique la perpendicularité.

Question 55

55. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment reliant A(x_A,y_A) à B(x_B,y_B) ?

I((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2)

I(x_B-x_A,y_B-y_A)

I((x_A-x_B)/2,(y_A-y_B)/2)

I(x_A+x_B,y_A+y_B)

Explication

Le milieu d’un segment a pour coordonnées les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées de ses extrémités.

Question 56

56. Quelle expression permet de calculer la distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) ?

(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²

√((x_B−x_A)+(y_B−y_A))

√((x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²)

√((x_B+x_A)²+(y_B+y_A)²)

Explication

La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées.

Question 57

57. Quelle formule donne l’aire du triangle de sommets A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) et C(x_C,y_C) ?

|x_A(y_B−y_C)+x_B(y_C−y_A)+x_C(y_A−y_B)|

1/2 |x_A(x_B−x_C)+x_B(x_C−x_A)+x_C(x_A−x_B)|

1/2 |x_A(y_B−y_C)+x_B(y_C−y_A)+x_C(y_A−y_B)|

1/2 |x_A(y_B+y_C)+x_B(y_C+y_A)+x_C(y_A+y_B)|

Explication

L’aire du triangle s’obtient avec la valeur absolue de l’expression déterminantielle, multipliée par 1/2.

Question 58

58. Que peut-on conclure lorsque le discriminant de l’équation d’intersection entre une droite et une parabole est nul ?

La parabole est confondue avec la droite

La droite est tangente à la parabole

La droite ne rencontre pas la parabole

La droite coupe la parabole en deux points distincts

Explication

Un discriminant nul signifie que l’équation d’intersection possède une unique solution double ; la droite est donc tangente à la parabole.

Question 59

59. Quel est le point d’intersection de y=x²−2x+1 et de y=2x−3 ?

(2,−1)

(1,1)

(1,−1)

(2,1)

Explication

En égalant les deux expressions, on obtient (x−2)²=0, donc x=2 et y=1.

Question 60

60. Pour quelle valeur de m la droite y=2x+m est-elle tangente à la parabole y=x²−2x+1 ?

m=12

m=3

m=−3

m=−12

Explication

La tangence correspond à un discriminant nul. Ici, cela conduit à m=−3.

Question 61

61. Comment détermine-t-on le centre du cercle circonscrit à un triangle ?

En intersectant les bissectrices des angles

En intersectant les hauteurs de deux côtés

En intersectant les médiatrices de deux côtés

En prenant le milieu du plus grand côté

Explication

Le centre du cercle circonscrit est l’intersection des médiatrices des côtés du triangle. Pour les points donnés, cette intersection est O(2,3).

Question 62

62. Quelle est l’équation du cercle circonscrit de centre O(2,3) et de rayon vérifiant R²=32 ?

(x−3)²+(y−2)²=32

(x−2)²+(y−3)²=16

(x+2)²+(y+3)²=32

(x−2)²+(y−3)²=32

Explication

L’équation d’un cercle de centre (a,b) et de rayon R est (x−a)²+(y−b)²=R². On obtient donc l’équation proposée.

Question 63

63. Quel est le rayon du cercle circonscrit considéré lorsqu'OB=4√2 ?

4√2

32

8

2√2

Explication

Le rayon est la distance entre le centre O et un sommet, ici OB=4√2. Son carré vaut donc 32.

Question 64

64. Quelle propriété caractérise la suite géométrique de raison 1,6 ?

Elle est constante et converge vers 1

Elle est strictement croissante et diverge vers +∞

Elle alterne entre des valeurs positives et négatives

Elle est strictement décroissante et converge vers 0

Explication

Une suite géométrique de raison supérieure à 1 est strictement croissante lorsque son terme initial est positif et diverge vers +∞. Une raison comprise entre 0 et 1 aurait au contraire un comportement décroissant vers 0.

QCM : Révisions de mathématiques de Première — 64 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle décrit correctement une suite numérique ?

2. Quelle situation correspond à une suite définie par récurrence ?

3. Une suite vérifie u_{n+1}≥u_n pour tout n. Comment la qualifie-t-on ?

4. Laquelle de ces situations caractérise une suite divergente ?

5. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

6. Quelle formule donne la somme des termes u_0 à u_N d’une suite arithmétique ?

7. Une suite géométrique de raison q vérifie quelle relation de récurrence ?

8. Quelle expression représente la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q≠1 ?

9. Quelle condition est nécessaire pour que f(x)=ax²+bx+c soit un polynôme du second degré ?

10. Pour f(x)=ax²+bx+c, quelles sont les coordonnées du sommet dans la forme canonique ?

11. Quel est le discriminant de l’équation 3x²−5x+2=0 ?

12. Que peut-on conclure pour une équation du second degré dont le discriminant est strictement négatif ?

13. Quelle expression définit la dérivée de f au point a lorsqu’elle existe ?

14. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point \(A(a,f(a))\) ?

15. Quelle dérivée usuelle est correcte ?

16. Si \(f(x)=u(x)v(x)\), quelle formule permet de calculer sa dérivée ?

17. Sur un intervalle où \(f'(x)<0\), quelle variation de f peut-on conclure ?

18. Lequel des points suivants est un point critique de f ?

19. Que peut-on conclure si la dérivée change de signe de − vers + en a ?

20. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

21. Quelle affirmation décrit correctement la fonction \(x\mapsto e^x\) ?

22. Quelle égalité est vraie pour tous réels a et b ?

23. Pour quels réels a et b l’inégalité \(e^a<e^b\) est-elle vérifiée ?

24. Sur le cercle trigonométrique, comment les coordonnées du point associé à un angle θ sont-elles déterminées ?

25. Quelle égalité reste vraie pour toute valeur réelle de x ?

26. La norme d’un vecteur de coordonnées (−3,4) vaut combien ?

27. Si u=(2,1) et v=(3,−2), quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

28. Que permet de lire directement la forme canonique f(x)=a(x−h)²+k ?

29. Une fonction quadratique possède un coefficient a négatif. Quelle caractéristique sa parabole présente-t-elle ?

30. Pour f_m(x)=x²−2mx+m²−1, quelles sont l’abscisse et l’ordonnée du sommet ?

31. Pour déterminer les points d’intersection d’une parabole et d’une droite, quelle méthode faut-il appliquer ?

32. Que signifie la notation P_A(B), lorsque P(A) est non nulle ?

33. Quelle expression permet de calculer la probabilité de l’intersection A∩B ?

34. A et son complémentaire forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime alors P(B) ?

35. Si P(A)>0, quelle condition caractérise l’indépendance de A et B ?

36. Quelle propriété caractérise une variable aléatoire discrète X dans une expérience aléatoire ?

37. Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec des probabilités respectives p, 0,3 et 0,2. Quelle est la valeur de p ?

38. Si E(X)=4, quelle est la valeur de E(3X-2) ?

39. Une variable aléatoire X est exprimée en mètres. Dans quelle unité l’écart-type σ(X) est-il exprimé ?

40. Quelle est la dérivée de f(x)=-2x²+4x+1 ?

41. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

42. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable ?

43. Pour le modèle P(t)=50000e^{0,0191t}, quelle relation décrit la vitesse de croissance de la population ?

44. Quelle affirmation respecte les conditions de validité des deux inégalités usuelles de l’exponentielle et du logarithme ?

45. Comment réécrire la fonction a sin(x) + b cos(x) sous la forme R sin(x + φ) ?

46. Pour la suite définie par u_n = nπ/4, après combien de pas la suite (sin(u_n)) retrouve-t-elle ses valeurs ?

47. Quel est l’ensemble image de f(x) = sin(x) + √3 cos(x) ?

48. Pour M(t,t² − 2t + 3), quels sont les vecteurs [31mMA[0m et [31mMB[0m lorsqu'A(0,3) et B(2,3) ?

49. Quelle expression factorisée représente le produit scalaire MA · MB pour M(t,t² − 2t + 3) ?

50. Quelle condition caractérise l’orthogonalité des vecteurs MA et MB ?

51. Quel point de la parabole correspond à la valeur t = 1 et constitue le sommet où l’angle est droit ?

52. Pour une droite d’équation ax + by + c = 0, quelle relation existe entre un vecteur directeur et le vecteur normal (a,b) ?

53. Quelle formule donne la distance du point M(x₀,y₀) à la droite ax + by + c = 0 ?

54. Quelle est l’équation de la droite perpendiculaire à D passant par A(1,4), dans la configuration considérée ?

55. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment reliant A(x_A,y_A) à B(x_B,y_B) ?

56. Quelle expression permet de calculer la distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) ?

57. Quelle formule donne l’aire du triangle de sommets A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) et C(x_C,y_C) ?

58. Que peut-on conclure lorsque le discriminant de l’équation d’intersection entre une droite et une parabole est nul ?

59. Quel est le point d’intersection de y=x²−2x+1 et de y=2x−3 ?

60. Pour quelle valeur de m la droite y=2x+m est-elle tangente à la parabole y=x²−2x+1 ?

61. Comment détermine-t-on le centre du cercle circonscrit à un triangle ?

62. Quelle est l’équation du cercle circonscrit de centre O(2,3) et de rayon vérifiant R²=32 ?

63. Quel est le rayon du cercle circonscrit considéré lorsqu'OB=4√2 ?

64. Quelle propriété caractérise la suite géométrique de raison 1,6 ?

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